频率响应

哪些频率能通过

上图是同一频率的输入（浅色）和输出（金色）正弦波，输出是把输入乘以 |H| 并平移 ∠H 的结果。下图是一阶低通系统的幅频响应 |H(ω)| 曲线，点表示当前频率。提高频率，低频几乎原样通过，越过截止频率 ωc = 2 之后，输出变小并向后滞后。

用一个正弦波探问系统

在 C4 中，正弦波是 LTI 系统的特征函数。输入频率为 ω 的正弦波，输出同频率的正弦波，只是幅度乘以 |H(ω)|，相位平移 ∠H(ω)。所以输入一个正弦波，测出输出正弦波的幅值比，就直接得到该频率的 |H(ω)|；测出相位差，就得到 ∠H(ω)。在所有频率上这样汇集起来，就得到完整的频率响应 H(ω)。

幅值是增益，相位是延迟

幅度 |H(ω)| 就是增益：大于 1 时放大该频率，小于 1 时衰减。相位 ∠H(ω) 表示该频率平移了多少，负相位意味着输出晚出现的延迟。本页的一阶低通系统为 |H(ω)| = 1/√(1 + (ω/2)²)，∠H(ω) = −arctan(ω/2)，所以低频以接近 1 的增益和接近 0 的相位通过，频率越高，增益越趋于 0，相位越趋于 −90°。

通带与阻带

幅频响应的形状就是滤波器的类型。|H| 接近 1 的频段是通带，接近 0 的频段是阻带，两者的分界通常取幅度降到 1/√2、即 −3dB 的截止频率 ωc。在这一点，输出功率是输入的一半，所以也称为半功率点。低通、高通、带通都按通带位于何处来区分，下一单元是在宽频率范围内读取这个 |H| 的对数图。

回到第一屏

提高输入频率，输出正弦波逐渐变小并向后滞后。变小的程度就是幅度 |H(ω)|，即增益；滞后的程度就是相位 ∠H(ω)，即延迟。低频几乎原样通过（通带），高频大幅衰减（阻带），两者之间幅度降到 1/√2 的 −3dB 点，就是 ωc = 2 的截止频率。频率响应就是用幅度和相位两张图，记下系统让哪些频率通过、挡住哪些频率。

用普通刻度画幅频响应，很难在一张图里同时表现通带中的细微差别和阻带中的急剧衰减。下一单元伯德图入门把幅度画成分贝、频率画在对数轴上。这样宽广的频率范围一目了然，一阶系统的衰减也拉直成每 10 倍频率 −20dB 的直线。把弯曲的响应简化成几段直线，正是伯德图的威力。