SC · 傅里叶

傅里叶变换

把周期信号离散频谱中的周期无限拉长，谱线就会融成连续频谱，这就是傅里叶变换。亲自确认时间与频率的倒数关系：矩形脉冲越窄，其频谱越宽。

脉冲变窄，频谱变宽

上图是宽度为 T 的矩形脉冲，下图是它的傅里叶变换，即 sinc 频谱。金色虚线是要对准的目标频谱，移动脉冲宽度 T，把蓝色 sinc 叠到目标上即可。在时间上把脉冲变窄，频率上的 sinc 就变宽，目标是 T = 1.4 时的形状。

矩形脉冲 x(t)

频谱 X(ω) = sinc目标频谱

脉冲宽度 T2.60

脉宽与第一零点

T = 2.60   ω = 2π/T = 2.42

脉冲宽度与目标不同，所以 sinc 的宽度也对不上。时间宽度与频率宽度互为倒数，所以脉冲变窄，频谱就变宽。

宽度不符

把周期无限拉长

傅里叶级数的各次谐波以 ω₀ = 2π/T 的间隔分开。增大周期 T，这个间隔就变窄；把 T 无限拉长，直到信号只发生一次、成为非周期信号，间隔就缩到 0 而消失。于是原本分立的谱线合成没有缝隙的连续频谱 X(ω)，离散和 Σ 变成积分 ∫ 的这个极限，就是傅里叶变换。

观察X(ω) = ∫ x(t) e^−jωt dt

分析就是乘以 e^−jωt 再积分。

选择x(t) = (1/2π) ∫ X(ω) ? dω

合成是符号为 +jωt 的逆变换。

填空窄脉冲 → ?

窄脉冲给出宽频谱。

自己来Δt · Δω ?

时间宽度乘频率宽度近似恒定。

越窄越宽

矩形脉冲的变换是 sinc 函数。脉冲宽度为 T 时，sinc 的第一个零点在 ω = 2π/T，所以脉冲越窄（T 越小），零点越远，主瓣越宽。这是因为信号越短，就越需要更多频率共同作用，才能造出那样快的变化。时间宽度与频率宽度互为倒数，乘积大致不变，这就是信号的不确定性原理。图中把峰值统一为 1，只比较宽度，而实际变换的峰值等于脉冲的面积 T。

变换与逆变换

分析是从时间信号中测出各频率的含量，X(ω) = ∫ x(t) e^(−jωt) dt；合成是把这些频率成分重新汇集成时间信号，x(t) = (1/2π) ∫ X(ω) e^(+jωt) dω。两者只差指数的符号，是完整的一对，所以无论从哪个域出发，都能走到另一侧。下一单元将把这个变换所遵循的规则汇集起来，做成计算工具。

回到第一屏

把脉冲变宽，sinc 就变窄；把脉冲变窄，sinc 就变宽，而两个宽度的乘积大致不变。这是因为时间与频率以倒数相联系，第一个零点始终在 ω = 2π/T 处。只发生一次的非周期信号，拥有的不是几次谐波，而是遍布所有频率的连续频谱。用积分来读写这种连续频谱的就是傅里叶变换，它是傅里叶级数周期无限拉长时的极限。

傅里叶变换 X(ω) = ∫ x(t) e^−jωt dt 把非周期信号转换为连续频谱，逆变换为 x(t) = (1/2π) ∫ X(ω) e^+jωt dω。它是傅里叶级数的周期趋于无穷的极限，各次谐波谱线融成了连续体。矩形脉冲变换为 sinc，宽度为 T 的脉冲，第一个零点在 ω = 2π/T。时间上变窄，频率上就变宽（倒数关系·不确定性，Δt·Δω ≳ 常数）。

进入下一单元

每次都用积分求变换很麻烦。下一单元傅里叶变换的性质将汇集变换遵循的规则：线性、时移对相位的影响、时间缩放对频率缩放的倒数效应，以及最重要的——时域中的卷积变成频域中的乘法。凭这一条性质，LTI 系统输出的计算就简化为乘法，B 章的卷积和 C 章的频率在这里相遇。