SC · 傅里叶

傅里叶变换

把周期信号离散频谱的周期拉到无穷，线就融成连续频谱。这就是傅里叶变换。亲眼看到时间与频率的倒数关系：矩形脉冲越窄，其频谱越宽。

脉冲变窄，频谱变宽

上方是矩形脉冲，下方是它的傅里叶变换——sinc 频谱。虚线是要匹配的目标频谱。移动脉冲宽度 T，把蓝色 sinc 叠到目标上。注意：在时间上变窄，在频率上就变宽。

矩形脉冲 x(t)

频谱 X(ω) = sinc目标频谱

脉冲宽度 T2.60

脉宽与第一零点

T = 2.60   ω₀ = 2π/T = 2.42

脉冲宽度与目标不同，所以 sinc 的宽度也不符。时间宽度与频率宽度互为倒数，脉冲变窄则频谱变宽。

宽度不符

把周期拉到无穷

傅里叶级数的谐波以间隔 ω₀ = 2π/T 分开。增大周期 T，间隔变窄；把 T 拉到无穷(信号只发生一次，成为非周期)，间隔消失为 0。于是分离的线融成无缝的连续频谱 X(ω)。离散和 Σ 变为积分 ∫ 的这个极限，就是傅里叶变换。

观察X(ω) = ∫ x(t) e^−jωt dt

分析乘以 e^−jωt 后积分。

选择x(t) = (1/2π) ∫ X(ω) ? dω

合成是符号为 +jωt 的逆变换。

填空narrow pulse → ?

窄脉冲给出宽频谱。

自己来Δt · Δω ?

时间宽度乘频率宽度近似恒定。

越窄越宽

矩形脉冲的变换是 sinc 函数。脉宽为 T 时，sinc 第一零点落在 ω = 2π/T。所以脉冲越窄(T 越小)，零点越远、主瓣越宽——因为越短的信号要聚集越多频率才能造出其快速变化。时间宽度与频率宽度是乘积近似恒定的倒数关系，这就是信号的不确定性原理。

变换与逆变换

分析是从时间信号量出各频率的量：X(ω) = ∫ x(t) e^(−jωt) dt。合成是把那些频率分量重新汇集成时间信号：x(t) = (1/2π) ∫ X(ω) e^(+jωt) dω。两者只在指数符号上不同，是完整的一对，所以从任一域出发都能渡到另一域。下一单元把这个变换所遵循的规则汇成一套计算工具。

回到第一屏

把脉冲变宽，sinc 变窄；变窄，sinc 变宽。两个宽度的乘积大致不变，因为时间与频率以倒数相系。第一零点始终立在 ω = 2π/T。只发生一次的非周期信号，拥有的不是几个谐波，而是遍布所有频率的连续频谱。用积分读写那连续频谱就是傅里叶变换，是傅里叶级数的周期无穷极限。

傅里叶变换 X(ω) = ∫ x(t) e^−jωt dt 把非周期信号映为连续频谱；逆变换为 x(t) = (1/2π) ∫ X(ω) e^+jωt dω。它是傅里叶级数的周期无穷极限，谐波线融为连续体。矩形脉冲变换为 sinc，宽度 T 的脉冲第一零点在 ω = 2π/T。在时间上变窄，在频率上变宽(倒数·不确定性，Δt·Δω ≳ 常数)。

进入下一单元

每次都用积分求变换很费力。下一单元傅里叶变换的性质汇集变换所遵循的规则：线性、时移对相位的作用、时间缩放对频率缩放的倒数效应，尤其是时域卷积变为频域乘法。仅凭这一性质，LTI 系统输出的计算就简化为乘法。B 章的卷积与 C 章的频率在此相遇。