SC · 傅里叶

伯德图入门

伯德图把幅度画成分贝、频率画在对数轴上。这样，原本弯曲的频率响应就简化为在转折处弯折的直线渐近线；亲自确认：移动转折频率时，这些直线会整体跟着移动。

把拐点对到目标拐角

上图是以分贝表示幅度的伯德幅频图，蓝色曲线是实际响应，金色直线是渐近线。下图是相频图。移动转折频率 ωc，把弯折点对准虚线目标 ωc = 4 即可；由于是对数轴，转折点以上会出现一条 −20 dB/dec 的笔直直线，即频率每增大 10 倍下降 20 dB。

幅值 (dB)渐近线

相位 (度)

拐角频率 ωc1.00

拐角与渐近线

ωc = 1.00   −20 dB / dec

弯折点离目标转折处很远。转折点以下是平坦的 0 dB，以上是以 −20 dB/dec 下降的直线，正是对数轴把这种衰减拉成了直线。

拐角不符

分贝与对数轴

伯德图把幅度画成 20 log₁₀|H| 分贝，把频率画在对数轴上。用了对数，乘积就变成和，所以多级串联系统的分贝幅度直接相加即可。而且像 0.1 到 1000 这样宽的频率范围也能均匀地放进一张图里，原本以乘法纠缠、范围宽广的响应，就这样被搬进了加法和直线的世界。

观察dB = 20 log₁₀|H|

分贝是 20 log₁₀|H|。

选择一阶斜率 = ?

一阶的斜率是 −20 dB/dec。

填空ωc 处: |H| = ?

拐角处真实幅值为 −3dB。

自己来ωc 处: 相位 = ?

转折处的相位是 −45°。

曲线变成直线

把一阶低通的幅度画成 dB 和对数轴，就拉直成两条直线。转折频率 ωc 以下是 0 dB 的水平线，以上是频率每增大 10 倍下降 20 dB 的 −20 dB/dec 直线。两条直线在转折处相交，实际曲线在该点比它们低 3 dB，所以只要知道几个转折频率，就能用直线段勾画出整个响应。如果是二阶系统，斜率为 −40 dB/dec，陡一倍。

相位也一起读

伯德图由幅频和相频两张图组成一套。一阶低通的相位在远低于转折点的频率处为 0°，在转折处为 −45°，在远高于转折点的频率处为 −90°，以转折点为中心，在大约两个十倍频程内平滑下降。幅频的转折与相频的 −45° 发生在同一个 ωc，所以系统把哪些频率削弱多少、延迟多少，从两张图上一目了然。下一单元将直接从这张幅频图中读出带宽和滤波器的类型。

回到第一屏

每次移动转折频率，弯折点都沿对数轴滑动。转折点以下总是平坦的 0 dB，以上总是 −20 dB/dec 的笔直直线，两者在转折处相交，实际曲线在那里只低 3 dB。相位以同一个转折点为中心，从 0° 弯向 −90°。伯德图的威力在于：把原本弯曲的频率响应变成几个转折点和若干直线段，让人连宽广的频率范围也能徒手画出来。

伯德图把幅度画成分贝 20 log₁₀|H(ω)|、相位画成度（°），两者都画在对数频率轴上，把响应拉直成直线渐近线。一阶低通在转折频率 ωc 以下为 0 dB，以上为 −20 dB/dec，转折处的实际值为 −3 dB，相位则 0° → 转折处 −45° → −90°。对数轴把乘积变成和，串联各级的 dB 相加，因此用几个转折频率就能勾画全貌，n 阶系统的斜率为 −20n dB/dec。

进入下一单元

既然会读伯德幅频图了，接下来就该从图中取出实际用得上的数值。下一单元带宽与滤波将直接在转折处读出通带的宽度，即到 −3 dB 为止的带宽，并按幅频图的形状区分低通、高通、带通、带阻四种滤波器。把信号的频谱乘以滤波器的响应，就决定了哪些频率能留下来；C4 中“卷积即乘法”的性质，在这里成了滤波器设计的实用工具。