根轨迹

增大 K，把极点放到目标阻尼线上

这是与 F1 单元相同的被控对象 K/(s(s + 1)(s + 2))。上图中三个灰点(0、−1、−2)是开环极点，也就是 K = 0 时的出发点；蓝线是闭环极点画出的根轨迹；金色 × 是当前增益 K 下的三个极点。橙色虚线是阻尼比 ζ = 0.5 的直线，与负实轴成 60°。初始的 K = 0.3 时，三个极点都在实轴上，属于过阻尼；增大 K，从 0 和 −1 出发的两个极点在约 −0.42 的分离点(K ≈ 0.385)相遇，然后分成一对共轭复极点，向上下弯曲伸展。这对复极点在 K ≈ 1.04 时落到橙线上，再继续增大，就在 K = 6 时越过虚轴，系统变得不稳定。

极点描出的路径

单位反馈系统的闭环极点是 1 + K·G(s) = 0 的根，其中 G(s) = N(s)/D(s) 是开环传递函数。整理得 D(s) + K·N(s) = 0，所以增益 K 每变一次，根也随之改变。K = 0 时 D(s) = 0，所以闭环极点从开环极点出发；K 趋于无穷时 N(s) = 0 占主导，极点汇聚到开环零点。零点不够时，多出的分支就伸向无穷远。像这样让 K 从 0 扫到无穷时，根所画出的全部轨迹就是根轨迹。

如何读这条路径

只要掌握几条规则，根轨迹也能用手画出草图。在实轴上，只有当某点右侧的开环极点与零点个数之和为奇数时，该区间才有轨迹；在这个例子中，就是 0 与 −1 之间，以及 −2 的左侧。从 0 和 −1 出发的两条分支彼此靠近，在分离点(约 −0.42)相遇，离开实轴成为一对共轭复极点。由于没有零点，三条分支都走向无穷远，方向沿着从实轴上 −1 出发、与实轴成 ±60° 和 180° 的渐近线。当复分支在某个 K 处穿过虚轴，从那里起系统就不稳定，这个交点的增益和频率，与 F1 单元用劳斯判据求出的 K = 6、s = ±j√2 完全相同。根轨迹和劳斯判据指向同一条边界。

配置极点以设计响应

根轨迹真正的用处在于设计。正如 D5 单元所见，二阶系统的暂态响应由主导极点的位置决定，也就是阻尼比 ζ 和固有频率 ωn。s 平面上过原点的一条直线代表恒定的 ζ，这条直线与负实轴所成角的余弦就是 ζ。所以画出想要的 ζ 的直线，找到它与根轨迹的交点，产生这个交点的增益 K 就是设计值，第一屏所做的正是这件事。不过这个系统里还有第三个极点一起移动，因此还要确认第三个极点足够靠左，主导复极点才能主导响应(K ≈ 1.04 时，第三个极点 −2.33 大约在复极点实部 −0.33 的 7 倍远的左侧)。如果单靠比例增益不够，后面要讲的补偿器会把轨迹本身弯成想要的形状。

回到第一屏

在第一屏，我们跟踪了与 F1 单元相同的被控对象的闭环极点，在增益 K 增大时于 s 平面上画出的路径。K 小时，极点散布在实轴上，属于过阻尼；增大 K，两个极点在分离点相遇，分成一对共轭复极点，向上下弯曲伸展。把这对复极点放到橙色 ζ = 0.5 线上，就得到快慢与超调相平衡的设计增益。继续增大，极点在 K = 6 时越过虚轴而变得不稳定，这正是 F1 单元用劳斯判据求出的边界。如果说劳斯判据用数字点出了稳定边界上的一个点，那么根轨迹则铺开了增益画出的整条路径，让我们不仅能设计稳定性，还能设计响应的形状。

根轨迹是在 s 平面上直接配置极点的设计工具。但实际系统往往不知道确切的传递函数，于是改为输入各种频率的正弦波来测量频率响应。下一单元 增益裕度与相位裕度 将在同一被控对象的开环伯德图上，用两个裕度来读出稳定系统离不稳定还有多远。在相位达到 −180° 的频率 √2 rad/s 处，增益离 0 dB 还剩的大小就是增益裕度；K = 6 时这个裕度变为 0，正是根轨迹穿过虚轴的那个点。根轨迹借极点位置看到的边界，在伯德图里又在频率轴上出现一次。