SC · 控制

根轨迹

当增益 K 从零增大到无穷，闭环极点在 s 平面上描出一条路径。那条路径就是根轨迹。极点从开环极点出发，奔向零点（或无穷），沿路径就能一眼看出系统在何处失稳、在什么 K 得到想要的阻尼。移动 K，把极点放到目标阻尼线上。

增大 K，把极点放到目标阻尼线上

这是与 F1 相同的对象 K/(s(s+1)(s+2))。蓝色曲线是闭环极点描出的根轨迹，金色 × 是当前增益 K 下的极点。橙色虚线是目标阻尼比 ζ = 0.5 线。K 小时极点散布在实轴上，是过阻尼。增大 K，两个极点在实轴相遇并分开（分离点），作为一对复极点向上下弯曲升起。把那个复极点正好放到橙色 ζ = 0.5 线上。再增大，到 K = 6 极点越过虚轴而失稳。

s 平面 (蓝 = 根轨迹, × = 当前极点)

增益 K0.30

增益与主导极点

K = 0.30 · s = -0.21 (real)

ζ = 1.00 → 0.50

增益较小，极点仍在实轴上或几乎只是衰减。这是过阻尼区域，缓慢而无振荡。增大 K，两个极点在分离点相遇并分裂为一对复极点，变得更快。

离目标阻尼远

极点描出的路径

单位反馈系统的闭环极点是 1 + K·G(s) = 0 的根，其中 G(s) = N(s)/D(s) 是开环传递函数。整理得 D(s) + K·N(s) = 0，所以增益 K 变化时根随之改变。K = 0 时即 D(s) = 0，于是闭环极点从开环极点出发。K 趋于无穷时 N(s) = 0 主导，极点汇聚到开环零点。零点不够时，多出的分支伸向无穷。如此把 K 从零扫到无穷，根所描出的整条轨迹就是根轨迹。

观察as K: 0 → ∞, poles go to zeros

轨迹始于极点、终于零点。

选择closed-loop poles solve 1 + K G(s) = ?

闭环极点是 1+KG=0 的根。

填空locus crosses jω at K = ?

虚轴穿越即劳斯的 K=6。

自己来choose K where locus meets the ?

在目标 ζ 线与轨迹的交点处选 K。

如何读这条路径

根轨迹可凭几条规则用手勾画。在实轴上，仅当某点右侧的开环极点与零点个数为奇数的区间才有轨迹；在此例中是 0 与 −1 之间，以及 −2 的左侧。从 0 与 −1 出发的两支彼此靠近，在分离点相遇、离开实轴，成为一对复极点。由于没有零点，三支都伸向无穷，其方向是与实轴成 ±60°、180° 的渐近线。而在某个增益下复数分支越过虚轴，从那里起便不稳定。那个穿越的增益与频率，正是 F1 用劳斯求出的 K = 6、s = ±j√2。根轨迹与劳斯指向同一个边界。

配置极点以设计响应

根轨迹真正的用处是设计。如 D5 所见，二阶暂态由主导极点的位置决定，即阻尼比 ζ 与固有频率 ωn。s 平面上过原点的一条直线代表恒定的 ζ（它与实轴夹角的余弦即 ζ）。所以画出所需 ζ 的直线，找出该线与根轨迹的交点，产生该点的增益 K 就是设计值。第一屏让你做的正是这件事。但还有一个看不见的第三极点也在移动，所以要让主导的复极点主导响应，还需确认第三极点足够靠左。当仅靠比例增益不够时，后面要讲的补偿器会把轨迹本身弯成想要的形状。

回到第一屏

我们跟随与 F1 相同对象的闭环极点，在增益 K 增大时于 s 平面描出的路径。K 小时极点散布在实轴上、过阻尼；增大 K，两个极点在分离点相遇、分裂为一对复极点向上下弯曲升起。把那个复极点放到橙色 ζ = 0.5 线上，便得到速度与过冲平衡的设计增益。再增大，极点在 K = 6 越过虚轴而失稳——正是 F1 用劳斯求出的边界。劳斯以数字给出稳定的一个边界点，而根轨迹展示了增益描出的整条路径，让我们不仅设计稳定性，还能设计响应的形状。

根轨迹是增益 K 从 0→∞ 时闭环极点（1 + K·G(s) = 0 的根）在 s 平面描出的路径。它们在 K=0 从开环极点出发，在 K→∞ 趋于开环零点（或沿 ±60°、180° 渐近线趋于无穷）。实轴轨迹位于右侧极点与零点个数为奇数的区间，两支相遇并在分离点分裂为一对复极点。虚轴穿越 = 失稳边界，在此例中与 F1 的劳斯相同，为 K = 6, s = ±j√2。过原点的直线代表恒定阻尼比 ζ（其夹角的余弦），所以在目标 ζ 线与轨迹的交点读出设计增益 K。

进入下一单元

根轨迹是在 s 平面上直接配置极点的时域设计工具。但真实系统的精确传递函数往往未知，于是改用多种频率的正弦波去激励并测量响应。下一单元波特图把随频率变化的增益与相位，画成对数坐标上直线之和。每个极点和零点都表现为折线的一段拐折，于是可以用手勾画复杂传递函数的频率响应，也能从测量数据反读出来。根轨迹以极点位置看响应，而波特图以频率看同一个系统。