带宽与滤波

把通带对到目标频带

浅色的水平线是各频率均匀分布的输入频谱，蓝色的形状是乘以滤波器后的输出，所以只有通带保留下来。金色虚线框出的频带是目标，即 2.5 ~ 5 这一段。用滤波器类型按钮和截止频率滑块把通带准确对准这段频带即可；本图中的滤波器是理想滤波器，通带内恰好为 1，通带外恰好为 0。

滤波就是相乘

C4 中的卷积定理是滤波的基础。让信号通过系统，在时域中是卷积，而在频域中则是把信号频谱 X(ω) 与滤波器响应 H(ω) 逐点相乘。H 接近 1 的通带中的频率成分原样保留，H 接近 0 的阻带中的成分则消失。所以只要看滤波器幅频图的形状，就能立刻知道哪些频率留下、哪些被切掉。

带宽是通带的宽度

带宽是指通带有多宽，通常用幅度降到 −3 dB 的两点之间的宽度来衡量。对于低通，从 0 到截止频率 ωc 就是带宽。带宽越窄，挑出来通过的频率越少，选择性越高，但由于 C3 中的倒数关系，时域中的响应会变慢，稳定下来需要更长时间。处理快速信号需要宽带宽，窄窄地滤除噪声则需要窄带宽，两者是一种取舍关系。

四种滤波器

滤波器按通带的位置分为四种。低通让低频通过，高通让高频通过，带通只让中间的一段频带通过，带阻只挡住中间的一段频带。刚才对准目标频带的答案，就是只让中间通过的带通。图中的滤波器是在边界处从 1 一下子跳到 0 的理想形状，而实际滤波器在通带与阻带之间有一段倾斜的过渡带，阶数 n 越高，过渡越陡，以 −20n dB/dec 下降。只是形状不同，都是同一个原理：乘到频谱上，只留下想要的频率。

回到第一屏

要对准目标频带，必须选择只让中间通过的带通，并用截止频率确定这段频带的位置。把平坦的输入频谱乘以滤波器后，只有通带内的频率留下，其余都被切掉，留下的频带宽度就是带宽。滤波说到底就是把滤波器的形状乘到频谱上的一次运算，低通、高通、带通、带阻只是通带放在哪里的不同。C4 中“卷积即乘法”的性质，在这里成了实用工具。

用傅里叶的方法，我们读出了系统如何处理稳态正弦波，也就是它在 ω 轴上的行为。但系统刚接通时的暂态响应或不稳定的发散，单靠纯正弦波很难描述。下一单元拉普拉斯变换把频率 jω 推广为复数 s = σ + jω，加上 σ 后，增长或衰减的指数也能一起处理，暂态响应和稳定性便以同一平面上极点和零点的位置一目了然。B4 中看到的 a < 0 稳定条件，也会在这个 s 平面上再次出现。