带宽与滤波

把通带对到目标频带

浅色平线是包含所有频率的输入频谱。蓝色形状是乘以滤波器后的输出，只有通带存活。金色虚线带是目标。用滤波器类型按钮和截止滑杆，把通带精确对到那条带上。

滤波就是相乘

C4 的卷积定理是滤波的基础。让信号通过系统在时域是卷积，但在频域是把信号频谱 X(ω) 与滤波器响应 H(ω) 逐点相乘。H 接近 1 的通带频率分量原样存活，H 接近 0 的阻带分量消失。所以看滤波器幅值图的形状，就立刻知道哪些频率留下、哪些被切。

带宽是通带的宽度

带宽是通带有多宽，通常用幅值降到 −3dB 的两点之间的宽度衡量。低通则是从 0 到截止 ωc 为带宽。带宽越窄，挑选通过的频率越少、选择性越高，但因 C3 的倒数关系，时域响应变慢、趋稳更久。处理快信号需要宽带宽，窄窄地滤出噪声需要窄带宽。二者是权衡关系。

四种滤波器

滤波器按通带位置分四种。低通通过低频，高通通过高频，带通只通过中间一带，带阻只阻挡中间一带。刚才要匹配目标频带，答案是只通过中间的带通。实际滤波器在通带与阻带之间有斜的过渡带，阶数越高过渡越陡，以 −20dB/十倍频的倍数下降。只是形状不同，都是同一原理——乘以频谱，只留你想要的频率。

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要匹配目标频带，就得选只通过中间的带通，并用截止确定那条带的位置。把平坦的输入频谱乘以滤波器，只剩通带内的频率，外侧被切除。存活带的宽度就是带宽。滤波归根到底是把频谱乘以滤波器形状的一次运算，低通、高通、带通、带阻只是通带置于何处之别。C4 的卷积即乘法性质在此成为实战工具。

傅里叶展示了系统如何处理稳态正弦波，即 ω 轴上的行为。但系统刚开启后的暂态响应、或不稳定的发散，仅用纯正弦难以刻画。下一章拉普拉斯变换与传递函数把频率 jω 拓宽为复数 s = σ + jω。加上 σ 就能一并处理增长与衰减的指数，于是暂态与稳定性以极点和零点在一个平面上的位置一目了然。B4 中 a<0 的稳定条件，将在那个 s 平面再次相遇。