SC · 采样与离散

采样定理

把连续信号按固定间隔采样，只有当采样率高于信号最高频率的两倍时，才能完美重建原信号。移动采样率，看采样过慢时高频如何伪装成低频，也就是混叠。

采得足够密，重建信号

金色是连续信号，明亮的点是按固定间隔取的采样。当采样率 fs 低于信号频率的两倍（奈奎斯特）时，会出现一条经过同样这些点、频率更低的红色冒牌波形。仅凭采样无法区分两者，原信号就丢失了。提高 fs，把采样取得更密，直到红色冒牌消失。下方是在频率轴上看到的同一个故事。

信号与采样（时间轴）

频谱与副本（频率轴）

采样率 fs1.40

采样率与恢复

fs = 1.40 · 2 f0 = 2.00 · 1.40 /cycle

alias f = 0.40

采样率 fs 低于信号频率的两倍，每个周期内采不到两个样本。一条经过相同样本、频率更低的冒牌波形出现，仅凭样本无法与原信号区分。fs 越慢，冒牌频率越低。

混叠（无法重建）

要比两倍更快地采样

采样定理说：若一个信号的频率成分全都低于 fmax（带限），那么当采样率 fs 高于 2·fmax 时，仅凭采样就能无误差地重建原连续信号。2·fmax 称为奈奎斯特速率。直观很简单：要跟上一次振荡，必须抓住一个波峰和一个波谷，也就是每周期至少两点，采样才能跟住那个摆动。不足两点，快速振荡就会在采样之间悄悄溜过。

观察reconstruct ⟸ fs > 2 fmax

采得比 fmax 两倍更快才能重建。

选择at fs = 2 fmax, per cycle = ?

奈奎斯特即每周期两个样本。

填空fs < 2 fmax ⟹ ?

太慢就会产生混叠。

自己来alias f = | fmax − ?

折叠后的冒牌频率是 |fmax − fs|。

太慢，频率就折叠

采样会使信号的频谱在采样率 fs 的每个整数倍处原样复制。若原成分位于 ±fmax，便会出现以 ±fs、±2fs 等为中心、排成一列的副本。当 fs 大于 2·fmax 时，这些副本之间有空隙，可以干净地取出原成分。但一旦 fs 低于 2·fmax，相邻副本就与原成分重叠。此时高于 fs/2（折叠频率）的成分会向下折叠，fmax 的振荡便伪装成 |fmax − fs| 这样的低频。这就是混叠，第一屏的红色冒牌正是这个被折叠的频率。

重建与抗混叠滤波器

若你在遵守奈奎斯特条件的前提下采样，重建只需把每个样本展成 sinc 形状再全部相加即可完成。这等同于一个理想低通滤波器切掉 fs/2 以上的副本、只保留原始频带。麻烦在于真实信号并非完美带限，或噪声在 fs/2 以上也带来成分。照原样采样会把那些高频折叠下来，永久污染信号。所以在采样之前要放一个抗混叠滤波器，预先削去 fs/2 以上的一切。折叠后的混叠在采样之后无法挽回，所以预防必须永远在采样之前。

回到第一屏

把采样率 fs 调慢，每周期采不到两个样本，一条经过相同点的红色冒牌波形便出现。仅凭样本无法把原信号与冒牌区分开。把 fs 提到信号频率两倍以上，每周期样本多于两个，频率轴上的副本彼此拉开，红色冒牌消失。经过样本的带限信号被钉定为唯一的原信号。采样率是否超过信号最高频率的两倍，决定了是丢失信号还是重建信号。

采样定理（奈奎斯特–香农）：若信号带限于 fmax 以下，则当采样率 fs > 2·fmax 时，仅凭采样即可完美重建原连续信号。2·fmax = 奈奎斯特速率（每周期两个样本）。采样会在每个 fs 处复制频谱，若 fs < 2·fmax，副本重叠而混叠。此时高于 fs/2（折叠频率）的成分向下折叠，伪装成 |fmax − fs| 这样的低频。折叠后的混叠无法挽回，所以要在采样前用抗混叠滤波器削去 fs/2 以上。

进入下一单元

你看到了采样率不足时，高频会向下折叠成低频。下一单元混叠将更深入地审视这种折叠。车轮看似倒转的影像、数码照片里的摩尔纹、声音走音的现象，都是同一种折叠的不同面孔。以折叠频率 fs/2 为镜，我们看频率如何反弹进来，以及抗混叠滤波器在那面镜子前做了什么。