采样定理

采得足够密，重建信号

上图中金色曲线是频率 f0 = 1 的正弦信号，亮点是按固定间隔取得的样本。采样速率一开始是 fs = 1.4，比信号频率的两倍(奈奎斯特速率 2)慢，所以还会画出一条经过同样这些点、频率更低的红色虚线，也就是假波形。只看样本无法区分两者，等于失去了原信号。下图从频率轴看同一情况：金色三角形是原频谱，浅色三角形是每隔 fs 产生的复制品，金色虚线是折叠频率 ±fs/2。把 fs 提高到 2 以上，红色假波形和红色重叠阴影会一起消失。

要比两倍更快地采样

采样定理的内容如下。如果一个信号的所有频率成分都在 fmax 以下(带限)，那么当采样速率 fs 快于 2·fmax 时，仅凭这些样本就能无误差地还原原来的连续信号。这个 2·fmax 称为奈奎斯特速率。直觉很简单：在一次摆动中，波峰和波谷至少都要各抓到一次，所以每个周期必须取多于两个点，样本才能跟上这个振荡。取得比这更稀疏，快速的振荡就会从样本与样本之间溜走。

太慢，频率就折叠

采样后，信号的频谱会在采样速率 fs 的每个整数倍处被原样复制。如果原成分分布在 −fmax 到 fmax，就会以 ±fs、±2fs 为中心排出同样形状的复制品。fs 大于 2·fmax 时，复制品之间有空隙，可以干净地取出原成分；fs 小于 2·fmax 时，相邻的复制品就会与原成分重叠。这时高于 fs/2(折叠频率)的成分会折回到它下方；当 fs 位于 fmax 与 2·fmax 之间时，fmax 的振荡会伪装成 |fmax − fs| 这样的低频。这就是混叠：第一屏的红色假波形正是这个折叠后的频率，下图中的红色阴影就是复制品重叠的地方。

重建与抗混叠滤波器

如果遵守奈奎斯特条件进行采样，重建只需把每个样本展开成 sinc 形状再全部相加。这相当于用截止频率为 fs/2 的理想低通滤波器切掉 fs/2 以上的复制品，只留下原频带。问题在于实际信号并不完全带限，或者混入噪声，使 fs/2 以上也有成分。直接采样的话，这些高频成分会折回来，把信号污染得无法挽回。所以在采样之前要放一个抗混叠滤波器，预先削掉 fs/2 以上的部分；混叠一旦折叠进来，采样之后就无法去除，因此必须始终在采样之前加以阻止。

回到第一屏

把采样速率 fs 调慢时，每个周期取不到两个样本，出现了经过同样这些点的红色假波形。仅凭样本，无法区分原信号和假波形。把 fs 提高到信号频率的两倍以上，每个周期的样本多于两个，频率轴上的复制品随之分开，红色假波形也消失了。经过样本的带限信号被确定为原信号这唯一一个。采样速率是否超过信号最高频率的两倍，决定了信号是丢失还是能被还原。

我们已经看到，采样速率不足时，高频会折叠成低频混进来。下一单元 混叠 将更深入地研究这种折叠。视频中车轮看起来倒转、数码照片上的波纹、声音音高跑偏，都是同一种折叠的不同面貌。那里会讨论以折叠频率 fs/2 为镜子，频率如何被反弹回来，以及抗混叠滤波器在这面镜子前做什么。