冲激响应

把输出叠到目标响应上

红色竖线是输入系统的冲激：竖线的高度是冲激的大小 a，竖线所在的位置是 t₀。这个冲激产生的输出是蓝色曲线，从冲激到达的那一刻起开始振荡并逐渐衰减。移动大小 a 和位置 t₀，把输出 a·h(t − t₀) 准确叠到金色虚线目标上，输出也会变成金色。

用一个冲激敲击系统

把宽度为 0、面积为 1 的冲激 δ(t) 输入系统一次，得到的输出称为冲激响应 h(t)。就像敲一下钟会发出这口钟特有的余音，h(t) 是这个系统独有的反应，所以被称为系统的指纹。本页的 h(t) 是 1.3e^(−1.1t) sin 2.6t 这样振荡衰减的信号，冲激到来之前为 0，因此系统是因果的。

幅度与位置随之而动

系统是线性的，所以冲激放大 a 倍，响应也放大 a 倍；系统是时不变的，所以冲激延迟 t₀，响应也保持形状延迟 t₀。两者合起来就是 a·δ(t − t₀) → a·h(t − t₀)。因此输出永远是同一个 h 只改了大小和位置的复制品。

于是任意输入也能预测

任何输入切得足够细，都可以看成大小不同的冲激在每个时刻排成一列，筛选性质保证了这种看法成立。如果系统是 LTI，每个冲激都会在自己的位置留下与自身大小相称的 h 复制品，总输出就是所有这些复制品相加的叠加。这种相加正是下一单元的卷积。

回到第一屏

要叠到目标响应上，需要的手柄只有两个：大小 a 和位置 t₀。输出的形状碰不得，因为那个形状正是系统固定的指纹 h。放大冲激，响应就变大；移动冲激，响应就移动，而形状始终是 h。知道了这一个 h，就知道了 LTI 系统要做的一切；接下来是卷积：把任意输入拆成冲激，再把这些响应加起来。

冲激响应是包含 LTI 系统一切信息的一个信号。下一单元卷积的直观将把任意输入看作一列冲激，把每个冲激留下的 h 复制品重叠、滑动并相加，得到输出。刚才看到的一个 a·h(t − t₀) 复制品，就是那个和中的一小块。卷积说到底，就是把本单元的叠加连续地做下去。