SC · 采样与离散

DTFT 与 DFT

DTFT 是离散信号真正的频率谱，即在单位圆上看到的 z 变换。DFT 把那条连续谱在 N 个频率上采样，使计算机能够计算。移动信号频率，看：正好落在某个 DFT 频点上时得到一个干净的尖峰，落在频点之间则能量泄漏到许多格，即频谱泄漏。

对准频点是一点，错开则泄漏

上方是长度 N=16 的离散余弦 x[n] = cos(ω₀n)。下方金色曲线是它的 DTFT 幅度，即沿 ω 连续扫过的真实频谱，蓝色杆是在 ω = 2πk/N 这 N 个 DFT 频点上对该曲线的采样值。虚线是信号真正的频率 ω₀。移动 ω₀ 滑杆，使 ω₀ 正好落在某个蓝色频点上，造出只有该格升起、其余落到 0 的干净尖峰。落在频点之间，能量就漏向相邻各格。

离散余弦 x[n] = cos(ω₀n)，N=16

DTFT 幅度（金色曲线）与 DFT 频点（蓝色杆）

信号频率 ω₀0.98 rad

信号频率与 DFT 频点

ω₀ = 0.98 · N = 16 · bin Δ = 2π/N = 0.39

nearest bin k = 2 at ω = 0.79

信号频率 ω₀ 落在两个 DFT 频点之间。没有频点对准信号的峰，能量便宽广地漏向许多格。这就是频谱泄漏：DFT 正在采样 DTFT 曲线的旁瓣。

频点之间（泄漏）

在单位圆上看到的频谱

离散信号 x[n] 的 DTFT 是 X(e^(jω)) = Σₙ x[n] e^(−jωn)。这与 E3 的 z 变换 X(z) = Σ x[n] z⁻ⁿ 中把 z 取在单位圆上 z = e^(jω) 完全相同。所以 DTFT 是绕 z 平面单位圆一圈所看到的频谱，也就是系统的频率响应。一个特点是周期性。由于 e^(−jωn) 关于 ω 以 2π 为周期，DTFT 每 2π 原样重复。这是 E1 中采样使频谱每 fs 复制一次这一事实的另一副面孔。所以离散信号的频谱只看 −π 到 π 一段就够了。

观察DTFT X(e^jω) = Σₙ x[n] e^−jωn

DTFT 是离散信号的频谱。

选择DTFT = X(z) at z = ?

DTFT 是单位圆上的 z 变换。

填空DFT X[k] = X(e^jω) at ω = ?

DFT 在 N 个点上采样 DTFT。

自己来fast algorithm for the DFT = ?

FFT 以 N log N 计算 DFT。

计算机能算的 DFT

DTFT 关于 ω 连续，所以有无穷多个值。计算机无法计算无穷，于是只在把一周期 2π 等分为 N 份的 ω = 2πk/N（k=0..N−1）处取值。这就是 DFT X[k] = Σₙ x[n] e^(−j2πkn/N)，把有限的 N 个输入变成有限的 N 个输出，即在 N 个频点上对 DTFT 曲线采样。直接计算 DFT 需要 N² 次乘法，但 1965 年库利–图基的 FFT 把它降到 N log N，使整个数字信号处理变得实用。时域的卷积在 DFT 域里又变回乘法，所以再长的滤波器也能用 FFT 快速运行。

错开频点的频率泄漏

只截取信号有限的 N 个样本来用时，那个截断的窗会使 DTFT 呈现有宽度的峰（主瓣）和旁边一排较小的峰（旁瓣）。若信号频率 ω₀ 正好落在频点 2πk/N 上，该频点位于主瓣顶端，其余频点恰好落在旁瓣之间的零点上，得到干净的一个尖峰。但若 ω₀ 落在频点之间，每个频点都采到旁瓣，能量便漏向许多格，即频谱泄漏。为减小它，截断时用把两端平滑削去的窗函数（汉宁、汉明等），可降低旁瓣、减少泄漏，但主瓣变宽，分辨相邻两个频率的能力下降。这是分辨率与泄漏的权衡。

回到第一屏

我们用一个长度 N 的离散余弦，看了它的频谱。金色 DTFT 曲线是沿 ω 连续扫过的真实频谱，蓝色 DFT 杆是在 N 个频点上对该曲线的采样。把信号频率 ω₀ 正好对准频点 2πk/N，便得到只有一格升起、其余为 0 的干净尖峰。把它移到频点之间，就看到能量散布到许多格的泄漏。DFT 不过是 DTFT 的采样，而 DTFT 是在单位圆上看到的 z 变换。从信号基础出发的链条，历经时间、卷积、傅里叶、拉普拉斯、采样，在此处的离散频谱合上了一圈。

DTFT X(e^jω) = Σₙ x[n] e^−jωn 是离散信号的频谱，即在单位圆 z = e^jω 上看到的 z 变换，且关于 ω 以 2π 为周期（离散化的结果）。DFT X[k] = Σ x[n] e^−j2πkn/N 是把该 DTFT 在 ω = 2πk/N 的 N 个点上采样的有限、可计算版本，FFT 以 N log N 快速计算它。信号频率对准频点则得干净的一个尖峰，落在频点之间则发生频谱泄漏（有限窗的旁瓣）。用窗函数减小泄漏，会与分辨率权衡。

进入下一章

至此，分析信号与系统的工具已经齐备。我们学会了在时间上观察，用傅里叶、拉普拉斯与 z 变换，以及采样后以数字方式处理。如今在最后一章，方向从分析转向设计。下一单元稳定性与劳斯判据把如何使系统稳定作为首要问题。无需直接求解极点，仅凭特征方程的系数就建立劳斯表，判定是否所有极点都在左半面。即便对极点难解的高阶系统，也能用手判定稳定与否，进而用根轨迹与波特图设计控制器。