SC · 采样与离散

DTFT 与 DFT

DTFT 是离散信号真正的频谱，即在单位圆上看到的 z 变换。DFT 则是为了让计算机能够计算，在 N 个频率上对这个连续频谱采样的结果。本讲中你将调节信号频率，确认它正好落在 DFT 频点上时会得到干净的一点，落在频点之间时能量会泄漏到多个格子。

对准频点是一点，错开则泄漏

上图是长度 N = 16 的离散余弦 x[n] = cos(ω₀n)。下图的金色曲线是它的 DTFT 幅度，即把 ω 从 0 连续扫到 π 得到的真实频谱；蓝色竖条是在 ω = 2πk/N 的 DFT 频点处对该曲线采样的值。频点间隔为 2π/16 ≈ 0.39 rad，灰色虚线是信号的真实频率 ω₀。初始的 ω₀ = 0.98 几乎正好在频点 k = 2 与 3 的中间，能量泄漏到多个格子。把 ω₀ 正好对准某个蓝色频点，就只有那一格竖起，其余格子都为 0，得到干净的一点。

离散余弦 x[n] = cos(ω₀n)，N=16

DTFT 幅度（金色曲线）与 DFT 频点（蓝色杆）

信号频率 ω₀0.98 rad

信号频率与 DFT 频点

ω₀ = 0.98 · N = 16 · 频点间隔 Δ = 2π/N = 0.39

最近的频点 k = 2 · ω = 0.79

信号频率 ω₀ 卡在两个 DFT 频点之间(离最近的频点超过频点间隔的 1/4)。没有哪个频点落在 DTFT 峰顶上，其余频点也不在零点，而是采到了峰的斜坡和旁边的小峰，所以能量大范围地泄漏到多个格子。这就是频谱泄漏。

频点之间（泄漏）

在单位圆上看到的频谱

离散信号 x[n] 的 DTFT 是 X(e^(jω)) = Σₙ x[n] e^(−jωn)。这与 E3 单元的 z 变换 X(z) = Σ x[n] z⁻ⁿ 中把 z 放在单位圆上 z = e^(jω) 完全相同，所以 DTFT 是沿 z 平面单位圆走一圈所看到的频谱，对系统而言就是频率响应。它显著的特点是周期性。由于 e^(−jωn) 对 ω 以 2π 为周期，DTFT 也每隔 2π 原样重复，这正是 E1 单元中"采样会把频谱每隔 fs 复制一次"这一事实的另一面。所以离散信号的频谱只需看 −π 到 π 这一段；对实信号，看 0 到 π 这一半就够了，第一屏的图画的也正是这一半。

观察DTFT X(e^jω) = Σₙ x[n] e^−jωn

DTFT 是离散信号的频谱。

选择DTFT = X(z), z = ?

DTFT 是在单位圆上看到的 z 变换。

填空DFT X[k] = X(e^jω), ω = ?

DFT 是在 N 个点上对 DTFT 的采样。

自己来DFT 的快速算法 = ?

FFT 以 N log N 量级计算 DFT。

计算机能算的 DFT

DTFT 中 ω 是连续的，所以有无穷多个值。计算机无法计算无穷，只能在把一个周期 2π 等分成 N 份的 ω = 2πk/N (k = 0, …, N−1) 处取值，这就是 DFT X[k] = Σₙ x[n] e^(−j2πkn/N)。它由有限的 N 个输入得到有限的 N 个输出，相当于在 N 个频点上对 DTFT 曲线采样。按定义直接计算 DFT 需要 N² 次乘法，而库利和图基在 1965 年发表的 FFT 把它降到 N log N 量级，把数字信号处理带入了实用领域。由于时域卷积在 DFT 域变成乘法(补上 0，避免结果首尾缠绕重叠)，即使很长的滤波器也能用 FFT 快速运行。

错开频点的频率泄漏

只截取有限的 N 个样本来用，截取窗口会让 DTFT 变成一个有宽度的峰(主瓣)加上旁边排列的小峰(旁瓣)的形状。信号频率 ω₀ 正好落在频点 2πk/N 上时，这个频点位于主瓣峰顶，其余频点恰好落在旁瓣之间的零点，于是得到干净的一点。但如果 ω₀ 卡在频点之间，所有频点都会采到主瓣的斜坡或旁瓣，能量泄漏到多个格子，这就是频谱泄漏。为了减轻它，截取时用把两端平滑削低的窗函数(汉宁窗、汉明窗等)，旁瓣降低、泄漏减少，但主瓣变宽，分辨两个相近频率的能力下降。这是用分辨率换取泄漏的减少。

回到第一屏

在第一屏，我们拿一个长度 N = 16 的离散余弦来看它的频谱。金色 DTFT 曲线是把 ω 连续扫过得到的真实频谱，蓝色 DFT 竖条是在 N 个频点上对这条曲线采样的值。把信号频率 ω₀ 正好对准频点 2πk/N，就得到只有一格竖起、其余为 0 的干净一点；移到频点之间，就看到能量泄漏到多个格子。DFT 只是 DTFT 的样本，而 DTFT 是在单位圆上看到的 z 变换。从信号基础出发，经过卷积、傅里叶、拉普拉斯、采样一路走来的分析工具链，在离散频谱这里绕成了一圈。

DTFT X(e^jω) = Σₙ x[n] e^−jωn 是离散信号的频谱，是在单位圆 z = e^jω 上看到的 z 变换，对 ω 以 2π 为周期(离散化的结果)。DFT X[k] = Σ x[n] e^−j2πkn/N 是在 ω = 2πk/N 的 N 个点上对 DTFT 采样得到的有限、可计算的版本，FFT 以 N log N 量级快速计算它。信号频率对准频点时得到干净的一点，落在频点之间时出现频谱泄漏(有限窗口产生的旁瓣)。用窗函数减少泄漏，代价是分辨率下降。

进入下一章

至此，分析信号与系统的工具全部齐备。我们学会了在时间轴上观察，用傅里叶、拉普拉斯和 z 变换，再经采样用数字方式处理。最后一章的方向将从分析转向设计。下一单元 稳定性与劳斯判据 的第一个问题是怎样让系统稳定：不直接求极点，只凭特征方程的系数，就建立劳斯表来判断是否所有极点都在左半平面。即使是极点难以求解的高阶系统，也能用手判定是否稳定，接着再用根轨迹和伯德图设计控制器。