稳态误差

型别与输入决定误差

金色曲线是跟踪误差 e(t) = r(t) − y(t)，即目标输入与闭环输出之差。虚线是该误差随时间所达到的稳态值。输入在阶跃（常数）、斜坡（直线）、抛物线（加速）中选；系统型别在 0 型、1 型、2 型（开环在原点的极点数）中选。增益 K 决定有限误差的大小。当系统型别比输入至少高一阶时，误差沉到零（完美跟踪）；恰好相等时，停在一个非零常数（增大 K 可减小，但永远到不了零）；更低时，误差无止境地增大（跟踪失败）。1 型系统 K/(s(s+1)(s+2)) 正是我们在 F1 至 F6 一直使用的那个对象。

用终值定理读出误差

稳态误差由终值定理干净地得出。在单位反馈中，误差的拉普拉斯变换为 E(s) = R(s)/(1+L(s))，无穷时间后的值为 e_ss = lim_{t→∞} e(t) = lim_{s→0} s·E(s) = lim_{s→0} s·R(s)/(1+L(s))。阶跃输入 R = 1/s，斜坡 R = 1/s²，抛物线 R = 1/s³，所以 s·R 分别为 1、1/s、1/s²。于是误差取决于 s→0 时 1+L(s) 有多大；若 L(s) 在原点有极点，则 s→0 时 L 趋于无穷大，误差化为零。归根结底，把误差送到零的力量，就是 L 在原点的极点，即积分器的数目。

三个误差常数与型别表

给每种输入下主宰误差的量取个名字，就是误差常数。阶跃输入对应位置误差常数 K_p = lim_{s→0} L(s)，斜坡对应速度误差常数 K_v = lim_{s→0} s·L(s)，抛物线对应加速度误差常数 K_a = lim_{s→0} s²·L(s)。于是误差整理为：阶跃 1/(1+K_p)、斜坡 1/K_v、抛物线 1/K_a。系统型别一举决定这些常数是有限还是无穷。0 型只有 K_p 有限而 K_v、K_a 为零，故对阶跃有限误差、对斜坡与抛物线无穷误差。1 型 K_p 无穷（阶跃误差为零）、K_v 有限（斜坡有限误差）、K_a 为零（抛物线无穷）。2 型 K_p、K_v 无穷（阶跃与斜坡误差为零）、K_a 有限（抛物线有限误差）。这张 3 × 3 的表，就是稳态误差的全部。

减小误差的两个旋钮，及其代价

减小稳态误差有两条路。一是提高系统型别，即在控制器里加积分器、从而在原点添一个极点。这样该输入的误差就整个化为零；F5 的积分项与 F6 的滞后补偿正是这么做的。二是提高增益、从而增大误差常数，但这只能缩小有限误差，无法消除。两条路都不是免费的。原点的极点使相位滞后 90°、削减相位裕度，把系统推向失稳（正是 F3、F6 中所见的相位损失）；而提高增益，如 F1 至 F4 所见，会让闭环立即失稳。1 型对象 K/(s(s+1)(s+2)) 在 K=6 失稳的那条边界，在这里依然有效。所以真实的设计是稳态精度与稳定性、响应速度之间的拉锯，积分器只加到真正需要的程度，并一边用超前补偿补足相位。

回到第一屏

把跟踪误差 e(t) 直接显示出来，一边改变输入与系统型别，一边观察它的终值。当系统型别高于输入阶次时误差消为零；相等时停在 1/(1+K_p)、1/K_v、1/K_a 这样的有限值；更低时无界拉开。这一切都出自同一个终值定理 e_ss = lim_{s→0} s·R/(1+L)，而原点极点的数目把 1+L 抬高多少，决定了误差是否归零。增益 K 只改变有限误差的大小，从未越过阶次之墙。F5 的积分项与 F6 的滞后补偿，归根结底就是在这张表里把系统型别上移一格、抹掉误差。

至此，控制章节走完了一圈。我们用劳斯判稳（F1），用根轨迹追随极点之路（F2），用波特图的两个裕度量距（F3），用奈奎斯特看是否环绕 −1（F4），用 PID 塑造响应（F5），用超前滞后补偿塑形相位（F6），如今用稳态误差读出跟踪的极限（F7）。稳定性、响应速度、稳态精度这三个目标彼此拉锯，又被绑进同一个设计，这就是经典控制的全部。再往前走，同时处理多输入多输出的状态空间、把极点放到想要之处的极点配置、用采样信号控制的数字控制、使代价最小的最优控制正等着你。但所有这些路，也都建立在本章所见的极点、零点、裕度与误差的语言之上。