SC · 傅里叶

傅里叶变换的性质

傅里叶变换最强大的性质是：时域的卷积变成频域的乘法。亲眼看到你在 B 章中辛苦滑动求和的卷积，在频率上变成把两个频谱逐点相乘。

卷积与乘法一起动

上方是时间输出 y = x ∗ h，下方是它的频谱。在频率上，输出 Y 是输入 X 与系统 H 逐点相乘的 X·H。移动 h 的宽度，看时域卷积结果与频域乘积结果总是一起变化，同时到达虚线目标。

时间输出 y = x ∗ h目标

频谱 Y = X · H

h 的宽度2.00

两域的输出

y = x ∗ h   ↔   Y = X · H

h 的宽度与目标不同。时间输出和频率输出都不符。两个域是同一事实的两副面孔，所以总是一起动。

不符

卷积变成乘法

傅里叶变换的核心性质是卷积定理。时域中若 y = x ∗ h，则频域中 Y(ω) = X(ω) H(ω)。滑动求和的积分变成同频率之间的简单乘积。这里 H(ω) 是冲激响应 h 的傅里叶变换，即系统的频率响应。B 章中的 LTI 输出计算在频率上一次乘法即可完成。

观察x ∗ h ↔ X · H

时域卷积是频域乘法。

选择a x + b y ↔ ?

和与缩放原样转移。

填空x(t − t₀) ↔ X(ω) · ?

时移是相位 e^−jωt₀。

自己来x(at) ↔ ?

时间压缩即频率扩张。

平移是相位，缩放是倒数

其他性质也把变换变成计算工具。线性：输入的和与缩放在变换中同样相加相乘。时移：x(t−t₀) 的变换是 X(ω) 乘 e^(−jωt₀)，幅值 |X| 不变，仅相位倾斜。时间缩放：x(at) 的变换是 (1/|a|)X(ω/a)，把 C3 的倒数关系变成一条性质——在时间上压缩信号，在频率上就扩张。

为何如此强大

卷积定理之所以强大，是因为在频率上 LTI 系统分别处理每个频率。给 LTI 输入正弦波，出来的是同频率、被 H(ω) 改变了幅度与相位的正弦波。也就是说，正弦波是 LTI 系统的本征函数，H(ω) 是本征值。所以复杂的卷积分解为每个频率上独立的一个乘积。H(ω) 在每个频率上做什么，正是下一单元的主题——频率响应。

回到第一屏

每次移动 h 的宽度，时间输出 y = x ∗ h 与频率输出 Y = X · H 总是一起变化、一起到达目标，因为它们是一对——同一信号在时间与频率中的样子。在时间上是滑动求和的卷积，在频率上是把两个频谱逐点相乘。把难运算换成易运算的这个卷积定理，正是傅里叶在工程中如此常用的核心原因。

傅里叶变换的性质把变换变成计算工具。核心是卷积定理：y = x ∗ h ⟺ Y(ω) = X(ω) H(ω)，其中 H(ω) = FT{h} 是频率响应。还有线性(ax + by ⟺ aX + bY)、时移(x(t − t₀) ⟺ e^−jωt₀ X(ω)，幅值不变)、时间缩放(x(at) ⟺ (1/|a|) X(ω/a))。卷积定理把 LTI 输出变成乘积，意味着正弦波是 LTI 的本征函数。

进入下一单元

卷积定理把系统的作用压缩成 H(ω) 一个函数。下一单元频率响应深入看 H(ω) 本身。幅值 |H(ω)| 表示对每个频率放大或衰减多少；相位 ∠H(ω) 表示对每个频率延迟多少。输入一个正弦波，量出输出正弦波的幅度比与相位差，系统通过哪些频率、阻挡哪些频率就一目了然。