SC · 傅里叶

傅里叶变换的性质

傅里叶变换最强大的性质，是时域中的卷积变成频域中的乘法。亲自确认：B 章里费力地滑动、累加的卷积，到了频域就变成把两个频谱逐点相乘。

卷积与乘法一起动

上图是宽度为 1 的矩形脉冲 x 与宽度可调的矩形脉冲 h 卷积得到的时间输出 y = x ∗ h，金色虚线是它的目标。下图中，把浅灰色的 X 与浅蓝色的 H 逐点相乘得到的绿色曲线，就是输出频谱 Y = X·H。移动 h 的宽度，上面的卷积和下面的乘积总是一起变化；当上图的输出到达目标时，下面的乘积也成为该目标的频谱。

时间输出 y = x ∗ h目标

频谱 Y = X · H

h 的宽度2.00

两域的输出

y = x ∗ h   ↔   Y = X · H

h 的宽度与目标不同，所以时间输出偏离，下面的乘积 Y 也相应不同。两个域是同一事实的两副面孔，总是一起变化。

不符

卷积变成乘法

傅里叶变换的核心性质是卷积定理。若时域中 y = x ∗ h，则频域中 Y(ω) = X(ω) H(ω)，滑动累加的积分变成了同一频率之间的简单乘积。这里 H(ω) 是冲激响应 h 的傅里叶变换，也就是系统的频率响应。B 章中看到的 LTI 输出计算，在频域中只需一次乘法就能完成。

观察x ∗ h ↔ X · H

时域卷积是频域乘法。

选择a x + b y ↔ ?

和与缩放原样转移。

填空x(t − t₀) ↔ X(ω) · ?

时移是相位 e^−jωt₀。

自己来x(at) ↔ ?

时间压缩即频率扩张。

平移是相位，缩放是倒数

其他性质也让变换成为计算工具。根据线性，输入的相加与缩放在变换中照样相加、相乘。看时移：x(t − t₀) 的变换是 X(ω) 乘以 e^(−jωt₀)，所以幅度 |X| 不变，只有相位随频率成比例地倾斜。看时间缩放：x(at) 的变换是 (1/|a|)X(ω/a)，C3 中看到的倒数关系直接成为一条性质：信号在时间上压缩，在频率上就扩展。

为何如此强大

卷积定理之所以强大，是因为在频域中，LTI 系统对每个频率分别处理。把正弦波输入 LTI 系统，输出的是同频率的正弦波，只是幅度和相位按 H(ω) 改变，所以正弦波是 LTI 系统的特征函数，H(ω) 是对应的特征值。因此复杂的卷积可以分解为每个频率上一个独立的乘积。H(ω) 在每个频率上起什么作用，就是下一单元的主题——频率响应。

回到第一屏

每次移动 h 的宽度，时间输出 y = x ∗ h 和频率输出 Y = X·H 总是一起变化。因为两者是从时间和频率看同一个信号的一对。在时间上它是滑动累加的卷积，在频率上则是两个频谱逐点相乘，宽度一致的那一刻，就出现了三角形与 sinc² 这一对。把困难运算变成简单运算的卷积定理，正是傅里叶在工程中被如此广泛使用的核心原因。

傅里叶变换的性质让变换成为计算工具。核心是卷积定理：y = x ∗ h ⟺ Y(ω) = X(ω) H(ω)，其中 H(ω) = FT{h} 是频率响应。此外还有线性（ax + by ⟺ aX + bY）、时移（x(t − t₀) ⟺ e^−jωt₀ X(ω)，幅度不变）和时间缩放（x(at) ⟺ (1/|a|) X(ω/a)）。卷积定理把 LTI 的输出变为乘法，也意味着正弦波是 LTI 系统的特征函数。

进入下一单元

卷积定理把系统的作用浓缩成了 H(ω) 这一个函数。下一单元频率响应将仔细观察 H(ω) 本身：幅度 |H(ω)| 表示每个频率被放大或衰减多少，相位 ∠H(ω) 表示每个频率被延迟多少。输入一个正弦波，测出输出正弦波的幅值比和相位差，系统让哪些频率通过、挡住哪些频率，便一目了然。