SC · 拉普拉斯

一阶·二阶响应

一个极点的位置就定下响应的形状。一阶系统是由时间常数 τ 决定的单纯指数；二阶系统由阻尼比 ζ 与固有频率 ωn 分成过阻尼、临界阻尼与欠阻尼。移动阻尼比，看响应如何从振荡变为平滑的稳定。

调阻尼比，使其最快稳定

上方是 s 平面，× 标出二阶系统的极点。欠阻尼时极点是离开实轴的一对复极点，响应会过冲着追上；过阻尼时两极点远远分布在实轴上，迟缓。下方是它的阶跃响应。把阻尼比 ζ 移向 1，找到两极点在实轴上相遇的临界阻尼，也就是无过冲而最快到达目标的位置。ωn 提高整体速度。

s 平面 (× = 极点)

单位阶跃响应

阻尼比 ζ0.30

固有频率 ωn1.40

极点位置与行为

ζ = 0.30 · ωn = 1.40

s = -0.42 ± j1.34

阻尼比 ζ 小于 1，极点是一对复极点。阶跃响应越过目标产生过冲后才稳定。ζ 越小，过冲越大、振荡越久。

离临界远

一阶系统：单一时间常数

实轴上只有一个极点的一阶系统 H(s)=1/(τs+1)，极点在 s=−1/τ。其阶跃响应是 1−e^(−t/τ)，是无振荡、平滑升向目标的指数。时间常数 τ 是到达终值约63%所需的时间，约 4τ 时基本稳定。极点越靠近原点（τ 越大）越慢，越远越快。一个极点的位置就定下速度。

观察first order y(t) = 1 − e^−t/τ

一阶是带时间常数 τ 的单纯指数。

选择2nd-order roots s = ?

二阶的根来自特征方程。

填空underdamped ζ ? ⟹ oscillates

ζ<1 时为复极点，会振荡。

自己来critical (fastest, no overshoot) ζ = ?

ζ=1 是临界，最快且无过冲。

二阶系统：两极点决定的暂态

标准二阶系统 H(s)=ωn²/(s²+2ζωn s+ωn²) 的极点是特征方程 s²+2ζωn s+ωn²=0 的两个根。求解得 s=−ζωn±ωn√(ζ²−1)。当阻尼比 ζ 小于 1，根号内为负，极点成为一对复极点 −ζωn±jωd，其中 ωd=ωn√(1−ζ²) 是实际振荡的频率。极点的实部 −ζωn 决定幅度衰减多快，虚部 ωd 决定振荡多快。固有频率 ωn 是从原点到极点的距离，是整体速度的尺度；ζ 是极点偏离实轴的角度，决定响应的形状。

过、临界、欠阻尼之分

一个阻尼比 ζ 就分出行为的种类。ζ>1 过阻尼有两个实根，无过冲而慢；ζ=1 临界阻尼是重根，无过冲而最快；ζ<1 欠阻尼是复极点，先过冲再稳定。ζ=0 时极点落在虚轴上，永远振荡。欠阻尼的过冲大小只由 ζ 决定，ζ 越小越大。稳定时间约为 4/(ζωn)，极点实部越大稳定越快。所以设计用 ζ 调过冲、用 ωn 调速度，彼此分开。

回到第一屏

把阻尼比 ζ 调小，极点是远远偏离实轴的一对复极点，响应大幅过冲并长时间振荡；把 ζ 升到 1，两极点在实轴相遇，无过冲而最快稳定。再升高 ζ 的过阻尼使极点分裂、变得迟缓。提高 ωn，极点远离原点，同样的形状整体变快。极点偏离实轴的角度定下过冲，离原点的距离定下速度。响应的形状与速度，就写在 s 平面上极点的位置里。

一阶系统 H(s)=1/(τs+1) 只有一个极点 s=−1/τ，所以阶跃响应 1−e^−t/τ 是带时间常数 τ 的单纯指数。二阶系统 H(s)=ωn²/(s²+2ζωn s+ωn²) 的极点为 s=−ζωn±ωn√(ζ²−1)：ζ>1 过阻尼（实根，慢）、ζ=1 临界阻尼（重根，无过冲而最快）、ζ<1 欠阻尼（复极点 −ζωn±jωd，振荡）。过冲由 ζ 决定，稳定时间 4/(ζωn) 由 ζωn 决定。响应的形状与速度，就是极点的位置。

进入下一单元

到这里，连续时间信号与系统的故事就讲完了。拉普拉斯变换把微分方程化为 s 的代数，极点的位置告诉我们响应。但计算机与数字设备无法连续处理信号，而是按固定间隔取值。下一章的第一单元采样定理要问：把连续信号在离散时刻采样后，何时还能精确重建。必须以高于信号最高频率两倍的速率采样的奈奎斯特准则，将与采样过慢时出现的混叠一同登场。