SC · 拉普拉斯

一阶·二阶响应

极点的位置决定了响应的形状。一阶系统是由一个时间常数 τ 决定的简单指数曲线，二阶系统则由阻尼比 ζ 和固有频率 ωn 配置极点，分成过阻尼、临界阻尼和欠阻尼。移动阻尼比，原本来回摆动的响应会变成平稳稳定下来的响应，本讲中你将亲手确认这一变化。

调阻尼比，使其最快稳定

上图是 s 平面，金色 × 是二阶系统的两个极点，虚线半圆是距原点 ωn 的位置。欠阻尼时，两个极点在这个半圆上离开实轴，成为一对共轭复极点，响应一边摆动一边跟上来；过阻尼时，两个极点在实轴上远远分开，响应变得迟缓。下图是单位阶跃响应，虚线是目标值 1。开始时 ζ = 0.3、ωn = 1.4，响应超过目标约 37%。把 ζ 往 1 移动，找到两个极点在实轴上相遇的临界阻尼，就得到无超调且最快到达目标的响应；增大 ωn，同样的形状会整体变快。

s 平面 (× = 极点)

单位阶跃响应

阻尼比 ζ0.30

固有频率 ωn1.40

极点位置与行为

ζ = 0.30 · ωn = 1.40

s = -0.42 ± j1.34

阻尼比 ζ 小于 1，极点是一对共轭复极点。阶跃响应先越过目标(超调)，再一边摆动一边衰减，超调量 e^(−πζ/√(1 − ζ²)) 只由 ζ 决定。ζ 越小，超调越大，摆动持续得越久。

离临界远

一阶系统：单一时间常数

实轴上只有一个极点的一阶系统 H(s) = 1/(τs + 1)，其极点位于 s = −1/τ。它的阶跃响应 1 − e^(−t/τ) 是一条不振荡、平稳上升到目标的指数曲线。时间常数 τ 是响应达到最终值约 63% 所需的时间，经过 4τ 后达到 98% 多一点，基本上已经稳定。极点离原点越近(τ 越大)越慢，越远越快，可以说一个极点的位置决定了快慢。

观察一阶系统 y(t) = 1 − e^−t/τ

一阶系统是由时间常数 τ 决定的简单指数曲线。

选择二阶系统的根 s = ?

二阶系统的极点是特征方程的根。

填空欠阻尼 ζ ? ⟹ 振荡

ζ < 1 时极点是复数，响应会振荡。

自己来临界阻尼(无超调且最快) ζ = ?

ζ = 1 是临界阻尼，无超调且最快。

二阶系统：由两个极点决定的暂态响应

标准二阶系统 H(s) = ωn²/(s² + 2ζωn s + ωn²) 的极点是特征方程 s² + 2ζωn s + ωn² = 0 的两个根，解得 s = −ζωn ± ωn√(ζ² − 1)。阻尼比 ζ 小于 1 时，根号内为负，极点成为一对共轭复极点 −ζωn ± jωd，其中 ωd = ωn√(1 − ζ²) 是响应实际摆动的角频率。极点的实部 −ζωn 决定振幅衰减的快慢，虚部 ωd 决定振荡的快慢。固有频率 ωn 是原点到极点的距离，衡量整体的快慢；ζ 是极点与负实轴所成角 θ 的余弦(ζ = cos θ)，决定响应的形状。所以欠阻尼极点总是落在上图半径为 ωn 的虚线半圆上。

过、临界、欠阻尼之分

阻尼比 ζ 一个量就能区分行为的类型。ζ > 1 的过阻尼有两个实根，无超调但缓慢；ζ = 1 的临界阻尼是重根，无超调且最快；ζ < 1 的欠阻尼是复极点，先超调再衰减。ζ = 0 时极点落在虚轴上，响应永远振荡。欠阻尼的超调量只由 ζ 决定：ζ = 0.7 时约 5%，ζ = 0.3 时约 37%。2% 调节时间约为 4/(ζωn)，因此极点实部越大，稳定得越快。所以设计时用 ζ 调超调、用 ωn 调快慢，两者分开调整，而且常常把 ζ 取在 0.7 左右，用一点超调换取更快的上升。

回到第一屏

在第一屏把阻尼比 ζ 调小时，极点是一对远离实轴倾斜的共轭复极点，响应大幅超调后长时间摆动；把 ζ 提到 1，两个极点在实轴上相遇，响应无超调地最快稳定下来。把 ζ 继续调大进入过阻尼，极点再次分开，响应变得迟缓。增大 ωn，极点远离原点，同样的形状整体变快。极点偏离实轴的角度决定超调，离原点的距离决定快慢。响应的形状和快慢，原原本本地写在 s 平面上极点的位置里。

一阶系统 H(s) = 1/(τs + 1) 只有一个极点 s = −1/τ，所以阶跃响应是 1 − e^−t/τ，即时间常数为 τ 的简单指数曲线。二阶系统 H(s) = ωn²/(s² + 2ζωn s + ωn²) 的极点是 s = −ζωn ± ωn√(ζ² − 1)：ζ > 1 为过阻尼(实根，慢)，ζ = 1 为临界阻尼(重根，无超调且最快)，ζ < 1 为欠阻尼(复极点 −ζωn ± jωd，振荡)。超调由 ζ 决定，调节时间 4/(ζωn) 由 ζωn 决定。响应的形状和快慢就是极点的位置。

进入下一单元

连续时间信号与系统的故事到这里告一段落。我们用拉普拉斯变换把微分方程变成关于 s 的代数，再从极点位置读出响应。可是计算机和数字设备无法连续地处理信号，只能每隔固定间隔取一次值。下一章的第一单元 采样定理 将讨论：连续信号即使只隔一段取一个样本，在什么条件下仍能还原原信号。那里会出现奈奎斯特准则，即采样必须快于信号最高频率的两倍，以及采样太慢时出现的混叠。