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增益裕度与相位裕度

一个稳定系统离失稳还有多少余地，可在开环波特图上以两个裕度读出。相位裕度是增益达到 0 dB 的频率处相位距 −180° 还剩的角度；增益裕度是相位达到 −180° 的频率处增益距 0 dB 还剩的大小。移动增益 K，看两个裕度缩到零、系统失稳。

用两个裕度测量到失稳的距离

这是与 F1、F2 相同的开环 L(s) = K/(s(s+1)(s+2)) 的波特图。上方是增益（dB），下方是相位（度），横轴是对数频率。上图中增益穿过 0 dB 线之处是增益交越频率，在该频率下方相位距 −180° 线还剩的角度就是相位裕度。下图中相位穿过 −180° 之处是相位交越频率（此对象固定为 ω=√2），在该频率上方增益距 0 dB 还剩的大小就是增益裕度。增大 K，增益曲线上移，两个裕度一起缩小，到 K = 6 两者都为零、系统失稳。

增益 (dB)，横轴对数 ω

相位 (度)，横轴对数 ω

增益 K8.0

裕度与交越频率

K = 8.0 · PM = -8° · GM = -2.5 dB

gain xover ω = 1.63 · phase xover ω = 1.41

增益太大，使增益交越频率越过了相位交越频率。相位裕度与增益裕度都为负，即已越过 −1 点，闭环失稳。波特图上增益曲线在 −180° 处位于 0 dB 之上。必须把 K 降到 6 以下。

无裕度（接近失稳）

到失稳还剩的距离

单位反馈失稳的门槛是开环 L(jω) 变为 −1，即大小为 1（0 dB）与相位 −180° 在同一频率同时发生的瞬间。此时 1 + L = 0，闭环极点落在虚轴上。稳定裕度从两个方向度量你当前离这个 −1 条件有多远。相位裕度是在大小恰为 1 的频率处相位距 −180° 还剩多少；增益裕度是在相位恰为 −180° 的频率处大小距 1 还剩多少。两者皆正则未触及 −1，故稳定；为零是边界；为负则已越过 −1，失稳。

观察phase margin = 180° + phase at the 0 dB freq

相位裕度 = 0 dB 频率处距 −180° 的角。

选择gain margin is read at the ?

增益裕度 = −180° 频率处距 0 dB 的大小。

填空stable ⟺ both margins ?

两个裕度皆正即稳定。

自己来margins reach 0 at K = ?

此对象在 K=6 裕度为 0。

在两个交越频率处读取

波特图让你在不同频率分别读出这两者。增益曲线过 0 dB 的频率称为增益交越频率。在该频率读相位曲线、取与 −180° 之差，便得相位裕度 = 180° + ∠L。反之，相位曲线过 −180° 的频率称为相位交越频率（此对象由 atan ω + atan(ω/2) = 90° 得 ω = √2，固定）。在该频率读增益曲线，得增益裕度 = −20 log|L| dB。此例中相位交越处大小为 |L| = K/6，故增益裕度为 20 log(6/K) dB。K 越大，整条增益曲线整体上移，增益交越频率右移，那里相位更低，于是相位裕度缩小。

裕度告诉你什么

稳定裕度超越简单的稳定与否，告诉你真实系统有多可靠。第一是稳健性。模型总不精确，元件值会漂移，传感器有时间延迟。相位裕度是闭环在失稳前能承受的额外相位滞后量，增益裕度是能承受的额外增益倍数。裕度薄，小误差就会让它崩溃。第二是响应的形状。在二阶近似下相位裕度与阻尼比近乎成正比，所以相位裕度约 45°~60° 对应阻尼比 0.45~0.6 的良好暂态。因此在波特图上以目标相位裕度调增益，正是在频域里做 D5、F2 中设定阻尼比的同一件事。

回到第一屏

在与 F1、F2 相同开环的波特图上，我们用两个裕度读出了到失稳还剩的距离。增益过 0 dB 的频率处距 −180° 还剩的角是相位裕度，相位过 −180° 的频率（ω=√2）处距 0 dB 还剩的大小是增益裕度。增大 K，增益曲线上移，两个裕度一起缩小，到 K = 6 两者都为零、系统失稳。这个 K = 6 与 F1 的劳斯、F2 根轨迹的虚轴穿越是完全相同的边界。同一系统的同一极限，劳斯以系数看，根轨迹以极点的路径看，波特图以频率响应的裕度看。

稳定裕度源于单位反馈在开环 L(jω) 触及 −1（0 dB、−180°）时失稳这一事实，用波特图度量你当前离那个 −1 有多远。相位裕度 = 180° + ∠L（增益交越，即 |L|=0 dB 频率处）；增益裕度 = −20 log|L| dB（相位交越，即 ∠L=−180° 频率处）。两者皆正即稳定，为零是边界，为负则失稳。相位裕度是能承受的额外延迟，增益裕度是额外增益的余地，故意味着稳健性；相位裕度约 45°~60° 对应阻尼比 0.45~0.6 的良好暂态（与 D5、F2 相同设计的频域版）。此例的极限 K = 6 与 F1 劳斯、F2 根轨迹是同一边界。

进入下一单元

稳定裕度在波特图上从两个方向度量了离 −1 条件的距离。但 −1 是复平面上的一个点，何不干脆把 L(jω) 本身画在复平面上，直接看它与那个点的关系？下一单元奈奎斯特图把频率 ω 从零扫到无穷，画出 L(jω) 描出的曲线。数那条曲线绕 −1 点几圈的奈奎斯特判据，能完整判定闭环稳定性，包括开环本就不稳定的情形。相位裕度与增益裕度，则以那条曲线离 −1 多近而在那里重新出现。