增益裕度与相位裕度

用两个裕度测量到失稳的距离

这是与 F1、F2 单元相同的开环 L(s) = K/(s(s + 1)(s + 2)) 的伯德图。上图是增益(dB)，下图是相位(度)，横轴是对数频率。上图中金色曲线穿过 0 dB 虚线处的金色点就是增益穿越频率，在这个频率下，下方相位曲线离 −180° 虚线还剩的角度，也就是下图中的竖条，就是相位裕度。下方相位穿过 −180° 的地方是相位穿越频率，对这个被控对象固定在 ω = √2；在这个频率下，上方增益曲线离 0 dB 还剩的大小，也就是上图中的竖条，就是增益裕度。裕度为正时竖条是绿色，为负时是红色。初始的 K = 8 时两根竖条都是红色(相位裕度约 −7.5°，增益裕度约 −2.5 dB)，把 K 降到 6 以下，两根都会变成绿色。

到失稳还剩的距离

单位反馈变得不稳定的门槛，是开环 L(jω) 等于 −1，也就是幅值 1(0 dB)和相位 −180° 在同一频率同时出现的那一刻。这时 1 + L = 0，闭环极点落在虚轴上。稳定裕度就是从两个方向测量当前状态离这个 −1 条件有多远。相位裕度测量幅值刚好等于 1 的频率处相位离 −180° 还剩多少，增益裕度测量相位刚好等于 −180° 的频率处幅值离 1 还剩多少。两者都为正，说明还没碰到 −1，系统稳定；为 0 是边界；为负则已经越过 −1，系统不稳定(适用于像这个被控对象这样开环稳定的系统)。

在两个交越频率处读取

在伯德图上，这两个量要在不同的频率处读取。增益曲线穿过 0 dB 的频率叫增益穿越频率，在那里读出相位曲线并求它与 −180° 之差，就得到相位裕度 = 180° + ∠L。反过来，相位曲线穿过 −180° 的频率是相位穿越频率，对这个被控对象，由 atan ω + atan(ω/2) = 90° 可知它固定在 ω = √2。在这个频率读出增益曲线，就得到增益裕度 = −20 log|L| dB；在这个例子中相位穿越处的幅值为 |L| = K/6，所以增益裕度是 20 log(6/K) dB。K 越大，整条增益曲线越往上移，增益穿越频率右移，而那里的相位已降得更低，所以相位裕度也随之减小。

从裕度能知道什么

从稳定裕度不仅能区分稳定与不稳定，还能知道实际系统有多可靠。第一是鲁棒性。模型总有些不准确，元件参数会漂移，传感器还有时间延迟。相位裕度是闭环变得不稳定之前所能承受的附加相位滞后量，增益裕度是所能承受的附加增益倍数，所以裕度薄，一点小误差就会让系统垮掉。第二是响应的形状。在二阶近似下，相位裕度与阻尼比几乎成正比，相位裕度约 45° ~ 60° 对应阻尼比 0.45 ~ 0.6 的良好暂态响应；实际上，在 F2 单元按 ζ = 0.5 选定的 K ≈ 1.04 下，相位裕度约为 52°，增益裕度约为 15 dB。所以在伯德图上以相位裕度为目标调节增益，相当于在频域里做 D5、F2 单元中调节阻尼比的那件事。

回到第一屏

在第一屏，我们在与 F1、F2 单元相同的开环伯德图上，用两个裕度读出了离不稳定还剩的距离。增益曲线穿过 0 dB 的频率处相位离 −180° 还剩的角度是相位裕度，相位穿过 −180° 的频率(ω = √2)处增益离 0 dB 还剩的大小是增益裕度。增大 K，增益曲线上移，两个裕度一起缩小，在 K = 6 时都变为 0，系统变得不稳定。这个 K = 6 与 F1 单元的劳斯判据、F2 单元根轨迹与虚轴的交点正好是同一条边界。同一个系统的同一个极限，劳斯判据从系数看，根轨迹从极点的路径看，伯德图则从频率响应的裕度看。

稳定裕度是在伯德图上从两个方向测量到 −1 条件的距离。但 −1 是复平面上的一个点，所以也可以直接把 L(jω) 本身画在复平面上，观察它与这个点的关系。下一单元 奈奎斯特图 将画出频率 ω 从 0 扫到无穷时 L(jω) 所画的曲线。数这条曲线绕 −1 点几圈的奈奎斯特判据，连开环本身已经不稳定的情形也包括在内，能毫无遗漏地判定闭环稳定性。相位裕度和增益裕度会在那里以"曲线从 −1 旁边经过得有多近"的形式再次出现。