SC · LTI 与卷积

LTI 系统的性质

LTI 系统的各种性质，其实都写在冲激响应 h 的形状之中。从 h 从什么时候开始，可以读出因果性；从 |h| 的总面积是否有限，可以读出稳定性。移动衰减率，亲手在稳定与不稳定的分界两侧来回穿越。

累积面积是否触及天花板

上图是因果冲激响应 h(t) = eᵃᵗ（t ≥ 0），下图是 |h| 从左往右累积的面积。把衰减率 a 降到 0 以下足够多，这块面积就不再无限增长，而是碰到绿色虚线所示的上限 1/|a| 后停下；有这个上限，就意味着稳定。

冲激响应 h(t)=eᵃᵗ

累积 |h| 面积天花板 1/|a|

衰减率 a0.40

总面积与判定

∫ |h| dt = ∞

a > 0，所以 h 无限增长。|h| 的累积面积没有上限地发散，∫|h| = ∞，这是一个很小的输入也会让输出失控的不稳定系统。

不稳定

因果性在于 h 何时开始

冲激在 t = 0 时进入系统。因果系统在此之前不可能作出任何反应，所以冲激响应在 t < 0 时必须为 0，写成式子就是 t < 0 时 h(t) = 0。本页的 h 只在 t ≥ 0 时才有值，所以无论 a 是多少，它总是因果的。只要看 h 的图形在 0 的左边是否保持平静，就能立刻读出因果性。

稳定性在于 |h| 的总面积

所谓 BIBO 稳定，是指有界的输入总会产生有界的输出。输出是输入与 h 的卷积，所以输出的大小无论如何都不会超过输入的最大值乘以 ∫|h(t)| dt。因此，这个积分必须是有限的，系统才稳定；条件是 ∫|h(t)| dt < ∞，也就是说 h 必须绝对可积。

观察h(t) = 0, t < 0

若因果，t < 0 时 h 为 0。

选择stable: ∫ |h(t)| dt ?

稳定即绝对积分有限。

填空∫₀^∞ eᵃᵗ dt = ?

a<0 时积分值为 −1/a = 1/|a|。

自己来stable ⟺ a ?

指数响应仅当 a<0 时稳定。

由极点的符号读出

对 h = eᵃᵗu(t)，积分 ∫₀^∞ eᵃᵗ dt 只在 a < 0 时有限，其值为 1/|a|。所以稳定条件就是 a < 0；a = −1 时上限为 1，a = −0.5 时为 2，a 越接近 0，上限越高。这个 a 就是下一章要学的 s 平面上的极点位置，由此引出“极点位于虚轴左侧（实部 < 0）则稳定”的规则。从 h 的形状读出的性质，就这样改写成了极点的位置。

回到第一屏

把衰减率 a 降到 0 以下之后，原本一直不停增长的 |h| 累积面积，变成了一碰到上限 1/|a| 就停下来。这个上限的存在，即 ∫|h| 有限这一事实，正是稳定。因果性是白得的，因为 h 在 t < 0 时一直为 0。LTI 系统的两个核心性质，就这样全都写在一个冲激响应的形状里：它何时开始，面积是否有限。

LTI 系统的性质直接从冲激响应 h 读出。因果 ⟺ t < 0 时 h(t) = 0（冲激到来前无响应）。BIBO 稳定 ⟺ ∫|h(t)| dt < ∞（绝对可积），因为输出不会超过输入最大值与这个积分的乘积。指数响应 h = eᵃᵗu(t) 总是因果的，且仅当 a < 0 时稳定，这又引出下一章 s 平面上的极点位置（实部 < 0）。

进入下一单元

如果冲激响应已经包含了系统的一切信息，那么把这个响应再积分一次，得到的又是什么呢？下一单元阶跃响应将以单位阶跃 u(t) 作为输入，确认输出就是冲激响应的累积积分。稳定系统的阶跃响应会稳定在一个有限的终值上，这个终值和到达它的快慢，就是实际工作中衡量系统的尺子。刚才看到的 ∫|h| 有限，正是这种稳定下来的保证。