SC · LTI 与卷积
LTI 系统的性质
LTI 系统的性质写在冲激响应 h 的形状里。由 h 何时开始读出因果性，由其幅值的总面积是否有限读出稳定性。移动衰减率，亲自越过稳定与不稳定的边界。
累积面积是否触及天花板
上方是因果冲激响应 h(t)=eᵃᵗ(t≥0)。下方是把 |h| 从左累积起来的面积。调小衰减率 a，让这面积不再无限增长，而是触及有限的天花板。那天花板就是稳定。
冲激响应 h(t)=eᵃᵗ
累积 |h| 面积天花板 1/|a|
衰减率 a0.40
总面积与判定
∫ |h| dt = ∞
a > 0 时 h 永远增长。|h| 的累积面积无天花板地发散，所以 ∫|h| = ∞。微小输入也能使输出暴涨——不稳定系统。
不稳定
因果性在于 h 何时开始
冲激在 t=0 进入。因果系统在此之前无法反应，所以冲激响应在 t<0 必须为 0，即 h(t)=0, t<0。本例的 h 仅在 t≥0 存活，所以始终因果。只看 h 的图在 0 左侧是否静止，就能立刻读出因果性。
稳定性是 |h| 的总面积
BIBO 稳定意味有界输入总产生有界输出。输出是输入与 h 的卷积，所以输出的大小被输入的峰值大小乘以 ∫|h(t)|dt 所界定。因此这个积分必须有限才稳定。条件是 ∫|h(t)|dt < ∞，即 h 必须绝对可积。
观察h(t) = 0, t < 0
因果则 t<0 时 h 为 0。
选择stable: ∫ |h(t)| dt ?
稳定即绝对积分有限。
填空∫₀^∞ eᵃᵗ dt = ?
a<0 时积分值为 −1/a = 1/|a|。
自己来stable ⟺ a ?
指数响应仅当 a<0 时稳定。
由极点的符号读出
对 h=eᵃᵗu(t)，积分 ∫₀^∞ eᵃᵗ dt 仅当 a<0 时有限，且等于 1/|a|。所以稳定条件就是 a<0。这个 a 是你下一章将学的 s 平面上极点的位置，由此引出极点在虚轴左侧(实部<0)即稳定的规则。从 h 形状读出的性质，被改写成了极点的位置。
回到第一屏
把衰减率 a 降到 0 以下，累积 |h| 面积就从不停增长变为触及天花板 1/|a| 而停止。那天花板的存在，即 ∫|h| 有限，正是稳定。因果性是白得的，因为 h 在 t<0 一直为 0。LTI 系统的两个核心性质，就这样全写在一个冲激响应的形状里：它何时开始，面积是否有限。
Las propiedades de un sistema LTI se leen directamente de su respuesta al impulso h. Causal ⟺ h(t)=0 para t<0 (sin respuesta antes del impulso). BIBO-estable ⟺ ∫|h(t)|dt < ∞ (absolutamente integrable), porque la salida está acotada por el pico de la entrada por esta integral. La respuesta exponencial h=eᵃᵗu(t) es siempre causal y estable solo cuando a<0, lo que lleva a la posición del polo en el plano s del próximo capítulo (parte real < 0).
进入下一单元
若冲激响应道尽了系统，那么把该响应积分一次又是什么？下一单元阶跃响应以单位阶跃 u(t) 为输入，展示输出是冲激响应的累积积分。稳定系统的阶跃响应趋于有限的终值，而该终值与趋稳速度成为工程中衡量系统的尺子。你刚看到的 ∫|h| 有限，正保证了这种趋稳。