PID 控制

用三项让响应又快又准

给被控对象 G(s) = 1/((s + 1)(s + 2)) 加上 PID 控制器，让它跟随目标值 1(虚线)。金色曲线是 t = 0 到 12 的闭环阶跃响应，下方显示栏里的稳态误差和超调，都是从这 12 秒的曲线上测得的。一开始只有比例增益 Kp = 4，输出停在 4/6 ≈ 0.67，留下 0.33 的稳态误差。调高积分增益 Ki，剩下的误差会累积起来把输出推到目标值；只要 Ki = 2，误差在 12 秒内就几乎变为 0。不过 Ki 调得太大，超调会变大，所以还要同时调节 Kp 和 Kd，去找又快、又无误差、又平稳的响应。

误差的现在、过去、未来

PID 控制器接收一个误差 e(t)，即目标值与输出之差，用三种方式把它加起来，形成控制输入 u = Kp·e + Ki·∫e dt + Kd·de/dt。比例项按当前误差的大小立即反应：误差大就用力推，误差小就轻轻推，是最直观的一项。积分项把误差随时间累积起来，所以即使是很小的误差，只要一直存在，积分值就会不断增大，最终把这个误差推掉。微分项对误差变化的快慢作出反应，所以当误差正在迅速减小时，它会预见到马上就要冲过头，提前踩刹车。可以说，三者分别看着误差的现在、过去和未来。

P 的局限、I 的精确、D 的稳定

只用比例控制，会留下稳态误差。因为控制输入是 u = Kp·e，稳态时要让输入维持一个不为 0 的值，误差 e 就必须不为 0。这个例子中被控对象的直流增益是 1/2，所以只用 Kp 时输出停在 Kp/(2 + Kp)，永远达不到目标值。积分项解决了这个问题。只要误差还剩一点，积分就不断累积、加大输入，直到误差正好为 0 才停下，所以稳态误差变为 0。代价是积分在原点加了一个极点，使相位滞后，响应容易振荡；微分项则相反，使相位超前，增加阻尼。用比例定快慢，用积分消误差，用微分添阻尼，这就是 PID 的分工。

整定与现实的陷阱

PID 是工业控制的标准工具，温度、速度、位置、流量处处都在用。确定三个增益叫作整定，由于快慢、超调和鲁棒性彼此牵连，改善一方往往会损害另一方。经典的齐格勒–尼科尔斯方法关掉积分和微分，只调高比例增益，找到系统刚开始等幅振荡时的临界增益和振荡周期。这正是 F1 单元的劳斯判据和 F4 单元的奈奎斯特判据所见的稳定边界，再从那里按表格确定三个增益。现实中也有陷阱。微分项会放大快速变化，因而连测量噪声也一起放大，所以通常要配一个低通滤波器；也有像这张图一样，只把微分作用在输出上，避免目标值阶跃变化的瞬间输入猛然跳动。此外，当输入被卡在极限时积分若继续累积，之后就会推得太猛，形成积分饱和，要用抗积分饱和措施来防止。

回到第一屏

在第一屏，我们给被控对象 G = 1/((s + 1)(s + 2)) 加上 PID 控制器，调节了三个增益。只有比例增益时，输出达不到目标值就停住，留下稳态误差。调高积分增益，剩下的误差不断累积，把输出准确地拉到目标值，但调得太高，超调和振荡就会变大。把比例和微分一起调节、补上阻尼，响应又变得平稳。比例管快慢，积分管精度，微分管阻尼，三者合力做出了又快、又无误差、阻尼又好的响应。之前用劳斯判据、根轨迹、伯德图和奈奎斯特图分析的回路，现在通过设计控制器，被塑造成了我们想要的样子。

PID 在时域里把三项加起来塑造响应。在频域里直接瞄准伯德图的相位和增益来做同样事情的工具，就是补偿器。下一单元 超前与滞后补偿 将在回路中插入由一个极点和一个零点构成的小传递函数。超前补偿器在穿越频率附近抬高相位、增大相位裕度，所以像微分项一样增加阻尼和速度；滞后补偿器在低频处提高增益、改善稳态精度，所以像积分项一样减小误差。PID 的 D 和 I 所做的事，补偿器在伯德图上以塑造相位和增益形状的方式再做一遍。