SC · 信号基础
基本信号
冲激、阶跃和指数是信号的字母表。与其把三者分开死记，不如用“阶跃是冲激的累积”这一个关系把它们串起来，这样记得牢得多。
扫动积分上限，累积出阶跃
中间那个窄矩形脉冲宽 0.5、高 2，是面积为 1 的冲激近似。用滑块把积分上限 t 向右移，脉冲下方的面积就以金色填满，其累积值沿着浅色虚线的目标阶跃往上爬。
目标阶跃 u冲激 δ
积分上限 t-2.00
累积面积 = 阶跃值
∫ δ = 0.00
上限还在脉冲左边，尚未遇到冲激。累积面积为 0，阶跃还没开始。
面积 0
冲激是面积为 1 的一点
冲激 δ(t) 是把宽度压到 0、高度无限增大、而面积保持为 1 的极限。所以它不是用数值而是用面积来定义的。与另一个信号相乘再积分，只会取出那个信号在一点上的值，这称为筛选性质。
阶跃是冲激的累积
单位阶跃 u(t) 在 t < 0 时为 0，在 t ≥ 0 时为 1。这与把冲激从最左端积分到 t 的结果完全相同。反过来，对阶跃求导，就得到只在跳变瞬间出现的冲激，积分与微分就这样把两者结成一对。
观察u(t) = ∫ δ(τ) dτ
阶跃是把冲激从左累积起来。
选择δ(t) = ?
对阶跃求导，在跳变处得到冲激。
填空∫ x(t) δ(t − t₀) dt = ?
冲激只筛出一个点的值。
自己来d/dt eᵃᵗ = ?
指数的导数是自身的 a 倍。
指数的变化率就是它自己
指数信号 eᵃᵗ 的导数是它自身的 a 倍，所以 a 的符号决定其命运。a > 0 时无限增长，a < 0 时衰减到 0，a = 0 时保持为常数。旁边小图中红线是 a = 0.95，蓝线是 a = −0.95；线性时不变系统的自然响应总以这种指数形式出现。
回到第一屏
滑块扫过的累积面积就是阶跃本身。上限穿过冲激时，面积从 0 填到 1，画出阶跃的跳变；穿过之后便停在 1。冲激与阶跃是靠一次积分相连的一对，指数则是变化率与自身成正比的第三个字母。这三者将成为今后构建一切信号的砖块。
三个基本信号由微积分联系在一起。冲激 δ(t) 以面积 1 定义，具有筛选性质 ∫ x(t) δ(t − t₀) dt = x(t₀)。单位阶跃 u(t) 是冲激的累积，即 u(t) = ∫ δ(τ) dτ，反过来 δ(t) = du/dt。指数 eᵃᵗ 的导数是自身的 a 倍，因此按 a 的符号分为增长、常数和衰减。
进入后续单元
冲激是下一章的主角。冲激响应是给系统输入一个冲激时的输出，卷积由此开辟了用冲激响应计算任意输入之输出的道路。指数则成为拉普拉斯变换和傅里叶变换中求解系统的测试信号。下一单元信号的运算将学习在时间轴上平移和伸缩信号。