离散 LTI 系统
用冲激响应削去噪声
上方是这个数字滤波器的冲激响应 h[n] = (1−α)αⁿ。放入一个冲激 δ[n]，出来的正是这个形状。下方，暗淡的线是带噪输入 x[n]（阶跃加噪声），金色的杆是其输出 y[n]。输出是离散卷积：把 h[n] 在输入上滑动、相乘再相加。提高平滑强度 α，把 h[n] 的尾巴拉长，就平均更多邻点，从而削去噪声。但提得太过，阶跃的边缘就会糊掉。
冲激响应即系统的全部
离散 LTI 系统是线性的（输入相加则输出相加）且时不变的（输入延迟，输出延迟相同）。这样的系统由一个冲激响应 h[n] 完全决定：输入冲激 δ[n]（n=0 处为 1，其余为 0）时得到的输出就是 h[n]。为什么仅此一项就够？因为任何输入 x[n] 都能拆成多个冲激之和 Σ x[k]·δ[n−k]。由线性与时不变，每个冲激 x[k]δ[n−k] 的输出是 x[k]·h[n−k]，把它们全部相加便得到整个输出。
输出是滑动的加权和
那个和 y[n] = Σₖ h[k]·x[n−k] 就是离散卷积。在每个输出时刻 n，把冲激响应 h 沿时间翻转，叠到输入的 n 位置上，把重叠的样本相乘再全部相加。然后移动一格求下一个输出。这就是 B 章的连续卷积，只是把积分 ∫ 换成求和 Σ、把曲线换成样本，原理相同。h[n] 短则只混近邻几点，长则伸入更远的过去。平滑的平均型 h 是削噪的低通，差分型 h 是放大变化的高通。
FIR 与 IIR，以及差分方程
若冲激响应在有限长度后结束，便是 FIR（有限冲激响应）滤波器。长度 M 的移动平均 h[n] = 1/M（n=0..M−1）是典型例子；它只对输入样本加权求和，所以总是稳定。若系统把过去输出反馈进递归式，冲激响应便无限延续，即 IIR（无限冲激响应）。第一屏的滤波器 y[n] = α·y[n−1] + (1−α)·x[n] 就是一例：其冲激响应为 h[n] = (1−α)αⁿ，尾巴永不真正结束。这个递归式就是差分方程，像 E3 那样作 z 变换得 H(z) = (1−α)/(1 − α z⁻¹)，极点在 z = α。极点须在单位圆内（α<1），冲激响应才衰减、滤波器才稳定。IIR 用很少的系数产生很长的响应，高效，但若极点离开圆便可能发散。
回到第一屏
上面看到的那一个冲激响应 h[n] = (1−α)αⁿ，就是这个滤波器的全部。提高平滑强度 α、拉长 h[n] 的尾巴，离散卷积便平均更多邻点，削去输出的噪声；提得太过，阶跃的边缘就糊掉。输出始终是 y[n] = Σₖ h[k]x[n−k]，即把 h 在输入上滑动的加权和。只要知道对一个冲激的响应，就能把它滑动，造出任意输入的输出。离散 LTI 系统的一切，都装在那个小小的 h[n] 里。
我们看到了在时间上用卷积滤波的结果，但还没用数字看清这个滤波器到底保留哪些频率、抑制哪些频率。下一单元 DTFT 与 DFT 把冲激响应铺展到频率上。把冲激响应在单位圆上 z = ejω 处求值，就是 DTFT，即离散系统的频率响应。平均型 h 的 DTFT 呈低通形状，在高 ω 处变小。而把无限的 DTFT 在有限个频率上采样、使计算机能实际计算的，便是 DFT，其快速算法就是 FFT。卷积在频域里又变回乘法。