离散 LTI 系统
用冲激响应削去噪声
上图用竖条画出这个数字滤波器的冲激响应 h[n] = (1 − α)αⁿ，从 n = 0 到 20；输入一个冲激 δ[n]，输出的正是这个形状。下图中，浅色线是输入 x[n]，即在 n = 10 处从 0 升到 1 的阶跃再混入噪声，金色竖条是输出 y[n]。输出是离散卷积：把 h[n] 在输入上滑动，相乘再相加。初始的 α = 0.2 时，h[n] 的尾巴很短，噪声几乎原样通过。调高平滑强度 α、把尾巴拉长，滤波器会平均更多相邻样本，削掉噪声；但调得太高，阶跃的边角会被抹平，上升也会变晚。
冲激响应即系统的全部
离散 LTI 系统是线性(输入相加，输出也相加)且时不变(输入推迟多少，输出也推迟多少)的系统。这样的系统完全由冲激响应 h[n] 决定，即输入冲激 δ[n](n = 0 时为 1，其余为 0)时得到的输出。只靠它就够了，是因为任何输入 x[n] 都可以拆成冲激之和 Σ x[k]·δ[n−k]。由于系统线性且时不变，每个冲激 x[k]δ[n−k] 的输出是 x[k]·h[n−k]，把它们全部相加就是总输出。
输出是滑动的加权和
这个和 y[n] = Σₖ h[k]·x[n−k] 就是离散卷积。对每个输出时刻 n，把冲激响应 h 在时间上翻转，叠放在输入的 n 位置，把重叠的样本两两相乘后全部相加，再移动一拍求下一个输出。与 B 章的连续卷积相比，只是积分 ∫ 变成了求和 Σ，曲线变成了样本，原理完全相同。h[n] 短，只混合附近几个点；h[n] 长，则混合到更远的过去。均匀平均形状的 h 成为削减噪声的低通滤波器，取相邻样本之差形状的 h 则成为放大变化的高通滤波器。
FIR 与 IIR，以及差分方程
冲激响应在有限长度内结束的，是 FIR(有限冲激响应)滤波器。长度为 M 的滑动平均 h[n] = 1/M(n = 0, …, M−1)是典型例子，它只对输入样本加权求和，所以总是稳定的。反之，如果是把过去输出反馈回来的递归式，冲激响应就会无限延续下去，成为 IIR(无限冲激响应)滤波器。第一屏的滤波器 y[n] = α·y[n−1] + (1 − α)·x[n] 就是一例，它的冲激响应 h[n] = (1 − α)αⁿ 永远拖着尾巴。这个递归式就是差分方程，按 E3 单元的做法做 z 变换，得到 H(z) = (1 − α)/(1 − α z⁻¹)，极点为 z = α。极点必须在单位圆内(|α| < 1)，冲激响应才会衰减、滤波器才稳定；IIR 用很少的系数就能产生很长的响应，效率高，但极点一旦移到圆外就可能发散。
回到第一屏
第一屏上方那一个冲激响应 h[n] = (1 − α)αⁿ，就是这个滤波器的全部。调高平滑强度 α、拉长 h[n] 的尾巴，离散卷积平均了更多相邻样本，输出的噪声被削掉；调得太高，阶跃的边角就被抹平了。输出始终是 y[n] = Σₖ h[k]x[n−k]，也就是把 h 在输入上滑动所得的加权和。只要知道对一个冲激的响应，把它滑动起来，就能得出任何输入的输出。离散 LTI 系统的一切，都装在那个小小的 h[n] 里。
我们看到了在时间上用卷积滤波的结果，却还没有用数字看清这个滤波器究竟保留哪些频率、抑制哪些频率。下一单元 DTFT 与 DFT 将把冲激响应展开到频率上。在单位圆上 z = ejω 处求冲激响应的 z 变换 H(z)，得到的就是 DTFT，即离散系统的频率响应；对平均形状的 h，会出现在高 ω 处变小的低通形状。为了让计算机能实际计算无限延续的 DTFT，在有限个频率上对它采样，就得到 DFT，而快速计算它的算法就是 FFT。时间上的卷积，在频域里又会变成乘法。