SC · 控制

奈奎斯特图

把稳定性看作与 −1 这一个点的关系。沿频率 ω 把开环 L(jω) 画在复平面上便成一条曲线，那条曲线绕 −1 点的圈数，说明闭环右半面极点的个数。移动增益 K，看曲线从 −1 右侧经过、经过 −1、再到在左侧环绕。

看曲线是否环绕 −1

这是与 F1、F2、F3 相同的开环 L(jω) = K/(jω(jω+1)(jω+2)) 画在复平面上的奈奎斯特图。一个点沿频率 ω 移动、描出金色曲线。红色 × 是 −1 点。这条曲线穿过负实轴之处为 −K/6，即相位达 −180° 的 ω=√2 处。增大增益 K，整条曲线变大，把那个交点推向左。交点在 −1 右侧（K<6）则不环绕 −1，故稳定；恰过 −1（K=6）为临界；越到左侧（K>6）则环绕 −1，失稳。

复平面 (× = −1, 曲线 = L(jω))

增益 K8.0

与 −1 的关系

K = 8.0 · crossing = -1.33 · GM = 0.75×

N = 2 · Z = 2 (P = 0)

曲线在 −1 左侧（−K/6 < −1）穿过负实轴并环绕 −1 点。在奈奎斯特判据中，这个环绕被计为闭环的右半面极点。整条曲线绕 −1 两圈，故有两个右半面极点——与 F1 劳斯的两次符号变化、F2 的一对复极点是同一种失稳。

不稳定（环绕 −1）

把回路画在复平面上

波特图把开环 L(jω) 的大小与相位沿频率分开来画。奈奎斯特图把两者合到一幅图里。在每个频率 ω，L(jω) 是一个有大小和相位的复数，于是把它画成复平面上的一个点。把 ω 从零扫到无穷（并对称到负 ω），点就描出一条曲线。波特图中相位为 −180°、大小为 1 的那一刻，在这里就是曲线恰好触及 −1 点的那一刻。于是稳定的一切问题，都汇聚到这一个点 −1 与曲线的关系上。

观察Nyquist plot = L(jω) in the complex plane

把 L(jω) 画成复平面上的点。

选择Z = N + P : count encirclements of ?

Z = N + P，数环绕 −1。

填空open-loop stable: stable ⟺ encirclements = ?

开环稳定时，不环绕 −1 即稳定。

自己来curve passes through −1 at K = ?

曲线经过 −1 即 K=6。

数环绕 −1 的圈数

奈奎斯特判据可归结为一个式子：Z = N + P。这里 Z 是闭环右半面极点数（我们希望为 0），P 是开环右半面极点数，N 是 L(jω) 曲线顺时针环绕 −1 点的圈数。闭环极点是 1 + L(s) = 0 的根，而 L 曲线环绕 −1 等同于 1 + L 曲线环绕原点，所以由辐角原理可数出其中的根数。若开环稳定（P = 0），稳定条件就只是 N = 0，即从不环绕 −1。本例正是如此。K < 6 时曲线从 −1 右侧经过、不环绕，故稳定；K > 6 时绕 −1 两圈，得 Z = 2，两个右半面极点，失稳。

奈奎斯特看得更远之处

奈奎斯特的威力在 P 不为零、即开环本就不稳定的系统中显现。这类系统单凭波特图的简单裕度无法正确判稳，但奈奎斯特用 Z = N + P 精确作答。例如开环有一个右半面极点（P = 1），则闭环要稳定（Z = 0），曲线必须逆时针恰好环绕 −1 一圈（N = −1）。用反馈使不稳定对象稳定的 D4 情形，奈奎斯特用环绕 −1 的方向与圈数来解释。稳定裕度也在此重现：相位裕度是曲线与单位圆相交处到负实轴的角，增益裕度是曲线与负实轴相交处到 −1 的距离。归根结底，曲线离 −1 擦得多近，一眼便道出稳健性。

回到第一屏

把与 F1、F2、F3 相同的开环 L(jω) 画在复平面上，我们把稳定性看作与 −1 点的一种关系。曲线在 −K/6 处穿过负实轴。K 小于 6 时该交点在 −1 右侧，曲线不环绕 −1，故稳定；K = 6 时恰过 −1，临界；K 大于 6 时交点越到 −1 左侧，曲线绕 −1 两圈，两个右半面极点，失稳。劳斯以系数，根轨迹以极点的路径，波特图以频率裕度，而奈奎斯特以环绕 −1 的圈数，都以第四种视角指向同一系统的同一边界 K = 6。而且唯有奈奎斯特能在开环本就不稳定时仍给出答案。

奈奎斯特图是开环 L(jω) 沿频率 ω 在复平面描出的曲线。奈奎斯特判据：Z = N + P — Z=闭环右半面极点，P=开环右半面极点，N=曲线顺时针环绕 −1 的圈数。闭环极点是 1+L=0 的根，所以 环绕 −1 = 1+L 环绕原点（辐角原理）。若开环稳定（P=0），不环绕 −1（N=0）即稳定。例 L=K/(s(s+1)(s+2)) 在 −K/6 处穿过负实轴，故 K<6 在 −1 右侧（稳定），K=6 经过 −1（临界，GM=0），K>6 绕 −1 两圈（2 个右半面极点，失稳）。与 F1、F2、F3 相同的边界 K=6，奈奎斯特将其推广到 P≠0 的情形。

进入下一单元

至此，我们用劳斯、根轨迹、波特图、奈奎斯特，分析了给定回路是否稳定、有多稳健。这些都是只调一个增益 K 的比例控制。但仅靠比例，既不能把稳态误差化为零，也不能随意塑造暂态响应。下一单元PID 控制为控制器本身加入动态。积分项只要误差仍在就持续累积，消除稳态误差；微分项预读变化、增添阻尼。通过调节比例、积分、微分三项的增益，我们进入把至今所见的极点与裕度直接塑造到想要位置的设计。