奈奎斯特图

看曲线是否环绕 −1

这是把与 F1、F2、F3 单元相同的开环 L(jω) = K/(jω(jω + 1)(jω + 2)) 画在复平面上的奈奎斯特图。深金色曲线是 ω 从 0.3 增大到 30 时 L(jω) 经过的位置，浅金色曲线是对应负频率的镜像，红色 × 是 −1 点。曲线在相位达到 −180° 的 ω = √2 处，于 −K/6 穿过负实轴。初始的 K = 8 时，交点在 −1.33，位于 −1 左侧，所以曲线包住了 −1。降低增益 K，整条曲线随之缩小，交点向右退回：K < 6 时不包住 −1，系统稳定；K = 6 时正好经过 −1，处于临界；K > 6 时再次把它包住，系统不稳定。

把回路画在复平面上

伯德图把开环 L(jω) 的幅值和相位随频率分开来画。奈奎斯特图则把两者合并在一张图里。在每个频率 ω，L(jω) 都是一个有幅值和相位的复数，就把它画成复平面上的一个点；让 ω 从 0 扫到无穷(并对称地扫过负的 ω)，这个点就画出一条曲线。伯德图上相位为 −180° 且幅值为 1 的那一刻，在这里就是曲线正好碰到 −1 点的那一刻。所以关于稳定的一切问题，都归结为 −1 这个点与曲线的关系。

数环绕 −1 的圈数

奈奎斯特判据可以概括为一个式子 Z = N + P。Z 是闭环右半平面极点的个数(我们希望它为 0)，P 是开环右半平面极点的个数，N 是 L(jω) 曲线顺时针绕 −1 点的圈数。闭环极点是 1 + L(s) = 0 的根，而 L 曲线绕 −1 等同于 1 + L 曲线绕原点，所以可以用辐角原理数出其中根的个数。开环稳定时(P = 0)，稳定条件就是 N = 0，也就是一次也不绕 −1，这个例子就是如此。K < 6 时曲线从 −1 右侧经过、不绕它，所以稳定；K > 6 时绕 −1 两圈，Z = 2，右半平面有两个极点，所以不稳定。

奈奎斯特看得更远之处

奈奎斯特判据的威力，在 P 不为 0 的情形，也就是开环本身已经不稳定的系统中才显现出来。这样的系统单凭伯德图的裕度无法正确判定稳定性，而奈奎斯特判据能用 Z = N + P 准确作答。若开环有一个右半平面极点(P = 1)，闭环要稳定(Z = 0)，曲线就必须逆时针恰好绕 −1 一圈(N = −1)；D4 单元的不稳定被控对象加上增益 k 得到的 L = k/(s − 1) 正是这样。它的曲线是以 −k 和 0 为直径两端的圆，所以 k > 1 时逆时针绕 −1 一圈，这就是闭环在 k > 1 时变得稳定的原因。稳定裕度也在这里再次出现：相位裕度是曲线与单位圆交点到负实轴的角度，增益裕度是曲线与负实轴交点到 −1 的距离，用倍数表示。看曲线从 −1 旁边擦过得有多近，就能一眼估计鲁棒性。

回到第一屏

在第一屏，我们把与 F1、F2、F3 单元相同的开环 L(jω) 画在复平面上，只从它与 −1 点的关系来看稳定性。曲线在 −K/6 处穿过负实轴。K 小于 6 时，交点在 −1 右侧，曲线不包住 −1，系统稳定；K = 6 时正好经过 −1，处于临界；K 大于 6 时，交点越到 −1 左侧，绕 −1 两圈，右半平面有两个极点，系统不稳定。劳斯判据凭系数，根轨迹凭极点的路径，伯德图凭频率裕度，奈奎斯特判据凭绕 −1 的圈数，指向的都是同一个系统的同一条边界 K = 6。其中，连开环已经不稳定的情形也能回答的，只有奈奎斯特判据。

到目前为止，我们用劳斯判据、根轨迹、伯德图和奈奎斯特图，分析了给定回路是否稳定以及鲁棒性有多强。它们都是只调一个增益 K 的比例控制。可是单靠一个比例增益，只要被控对象里没有积分器，就无法让阶跃输入的稳态误差变为 0，也无法随心所欲地塑造暂态响应。下一单元 PID 控制 将给控制器本身加上动态特性。积分项只要还有误差就不断累积，消除稳态误差；微分项提前读出变化，增加阻尼。通过调节比例、积分、微分三项的增益，我们将进入把前面看到的极点和裕度直接塑造到理想位置的设计。