SC · LTI 与卷积
卷积的计算
手算卷积时，要在重叠改变的分界点把时间分成区间，并在每个区间分别对乘积积分。逐段确认两个矩形脉冲的卷积如何变成三角形。
区间一变，公式也变
上方是固定输入与翻转滑动的脉冲，及其乘积的绿色面积。下方是结果三角形。移动滑动位置 t，有效区间及其闭式随之改变。观察公式在分界点 t=0、1、2 处如何切换。
输入脉冲翻转的脉冲
输出 y(t) = 三角形
滑动位置 t-0.40
t < 0
y = 0
0 ≤ t ≤ 1
y = t
1 ≤ t ≤ 2
y = 2 − t
t > 2
y = 0
有效区间与公式
t < 0 y = 0 = 0.00
两个脉冲不重叠。积分区间为空，所以 y(t) = 0。这是 t < 0 或 t > 2 的外侧区间。
无重叠
分界点划分区间
翻转滑动的脉冲的两条边越过固定脉冲两条边的瞬间，就是分界点。本例中重叠在 t=0 开始，在 t=1 完全重合，在 t=2 结束。分界点之间，积分上下限由 max(0, t−1) 与 min(1, t) 平滑确定。
在每个区间积分
两个脉冲高度都为 1，所以乘积在重叠区间也为 1。于是积分就是重叠区间的长度。在 0 ≤ t ≤ 1 长度为 t，故 y=t 上升；在 1 ≤ t ≤ 2 长度为 2−t，故 y=2−t 下降。两条直线在 t=1 相遇，构成高度 1 的峰。
观察y(t) = ∫ x(τ) h(t − τ) dτ
用积分量出重叠区间的长度。
选择1 ≤ t ≤ 2: y = ?
第二区间长度减小为 2−t。
填空y(1) = ?
完全重叠的 t=1 是峰值。
自己来width = 1 + 1 = ?
输出宽度是两输入宽度之和。
分段相连，宽度相加
各区间公式在分界点处取值相同，所以无缝相连——卷积始终是连续函数。输出的宽度是两个输入宽度之和；这里 1+1=2。若两个脉冲宽度不同，结果会是上边平坦的梯形而非三角形，但分区间积分的步骤完全一样。
回到第一屏
三角形的三段直线，各自来自一个区间的积分。上升段是 0 ≤ t ≤ 1 的 y=t，下降段是 1 ≤ t ≤ 2 的 y=2−t，两端的 0 是无重叠的外侧区间。三角形的角恰好落在分界点 t=0、1、2，因为在每个这样的 t，滑动脉冲的边越过了固定脉冲的边。计算卷积归根到底就是找出这些分界点、划分区间、再逐段积分。
要手算卷积，就找出重叠区域改变的分界点(滑动边越过固定边的 t)，把时间轴分成区间，并在每个区间用合适的上下限对乘积积分。结果是分段定义的连续函数。矩形 ∗ 矩形 = 三角形，输出的宽度是两输入宽度之和。宽度不同则得到梯形。
进入下一单元
现在你既能用图像也能用公式处理卷积。下一单元LTI 的性质仅凭冲激响应 h 的形状就读出系统性质。若 h 在 t<0 时为 0 则因果；若 h 的积分有限则稳定。串联、并联的系统通过卷积的结合律与分配律合并为一个 h，而你刚学的逐区间积分正是求这个合成响应的工具。