SC · LTI 与卷积

卷积的计算

手算卷积时，要在重叠情况改变的分界点处把时间分成若干区段，并在每个区段上分别对乘积积分。逐段确认两个宽度为 1 的矩形脉冲的卷积是怎样变成三角形的。

区间一变，公式也变

上图是固定的输入脉冲（金色）、翻转平移后的脉冲（蓝色），以及两者重叠的绿色面积，两条绿色虚线是积分区间的两端。下图是由这些面积汇成的三角形结果。移动滑动位置 t，当前所在的区段及其表达式随之改变，表达式切换的地方就是分界点 t = 0, 1, 2。

输入脉冲翻转的脉冲

输出 y(t) = 三角形

滑动位置 t-0.40

t < 0

y = 0

0 ≤ t ≤ 1

y = t

1 ≤ t ≤ 2

y = 2 − t

t > 2

y = 0

有效区间与公式

t < 0   y = 0  =  0.00

两个脉冲不重叠，积分区间为空，所以 y(t) = 0。这是 t < 0 或 t > 2 的外侧区段。

无重叠

分界点划分区间

平移脉冲的两条边越过固定脉冲两条边的瞬间就是分界点。本例中，t = 0 时开始重叠，t = 1 时完全重合，t = 2 时重叠结束。分界点之间，积分区间的两端由 max(0, t − 1) 和 min(1, t) 决定，图中两条绿色虚线正是这两端。

在每个区间积分

两个脉冲的高度都是 1，所以乘积在重叠区间内也是 1，积分就是重叠区间的长度。0 ≤ t ≤ 1 时这个长度是 t，于是 y = t 上升；1 ≤ t ≤ 2 时长度是 2 − t，于是 y = 2 − t 下降。两条直线在 t = 1 相交，形成高度为 1 的峰顶。

观察y(t) = ∫ x(τ) h(t − τ) dτ

用积分量出重叠区间的长度。

选择1 ≤ t ≤ 2: y = ?

第二段中长度缩短为 2 − t。

填空y(1) = ?

完全重合的 t = 1 处是峰顶。

自己来宽度 = 1 + 1 = ?

输出宽度是两个输入宽度之和。

分段相连，宽度相加

各区段的表达式在分界点处取值相同，所以连接起来没有断开。像这两个矩形脉冲一样大小有限的信号之间的卷积，总是这样的连续函数。输出的宽度是两个输入宽度之和，这里是 1 + 1 = 2。两个脉冲宽度不同时，得到的不是三角形而是顶边平坦的梯形，但分段积分的步骤完全相同。

回到第一屏

三角形的三段直线，各自来自一个区段上的积分。上升段是 0 ≤ t ≤ 1 上的 y = t，下降段是 1 ≤ t ≤ 2 上的 y = 2 − t，两端的 0 是没有重叠的外侧区段。三角形的折点恰好落在分界点 t = 0, 1, 2 上，是因为在这些时刻，移动脉冲的边正好越过固定脉冲的边。卷积计算说到底，就是找出这些分界点、分好区段，再逐段积分。

手算卷积时，要找出重叠区域发生变化的分界点，即移动的边越过固定的边时的 t，把时间轴分成区段，在每个区段上用合适的积分限对乘积积分。结果是每段表达式不同的连续函数。矩形脉冲 ∗ 矩形脉冲 = 三角形，输出的宽度是两个输入宽度之和，宽度不同时则得到梯形。

进入下一单元

现在，你已经能从图形和公式两方面处理卷积了。下一单元LTI 系统的性质将只看冲激响应 h 的形状来读出系统的性质。t < 0 时 h 为 0，系统就是因果的；|h| 的积分有限，系统就是稳定的。串联、并联的系统可以借助卷积的结合律和分配律合并为一个 h，而刚学会的分段积分，就是求这个合并响应的工具。