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超前与滞后补偿

补偿器把一个由一极一零组成的小传递函数插入回路，重塑波特图的相位与增益。超前补偿器把零点放在极点之前，在交越频率附近抬高相位、增大相位裕度；滞后补偿器把极点放在零点之前（靠近原点），抬高低频增益、减小稳态误差。把超前补偿器的相位峰对准交越频率，亲手把毫无裕度的回路的相位裕度抬到一个健康的值。

用超前补偿抬高相位裕度

这是开环 L(s) = 4·C(s)/(s(s+1)(s+2)) 的波特图，对象与 F1 至 F4 相同、外加增益。上方是增益（dB），下方是相位（度）；虚线是补偿前（C=1），实线是加上超前补偿器 C(s) = (1+αTs)/(1+Ts) 之后。补偿前相位裕度约 11°，非常薄。增大 α，零点与极点的间隔拉开，相位上升起一个峰，峰的最大高度为 φ_max = asin((α−1)/(α+1))。移动中心频率 ω_m，把那个峰对准增益过 0 dB 的交越频率，就在那里相位被抬起、相位裕度增大。调好两个旋钮，使相位裕度落在 45° 到 60° 之间。

增益 (dB) · 虚线补偿前，实线补偿后

相位 (度) · 把峰对准交越频率

α（零极间隔比）1.0

中心频率 ω_m1.50

补偿器与相位裕度

α = 1.0 · ω_m = 1.50 · φ_max = 0°

PM: 11° → 11° · gain xover ω = 1.14

相位裕度仍然薄。超前补偿器的相位峰太小，或偏离了交越频率。增大 α 把峰升高，并把中心频率 ω_m 对准增益过 0 dB 的交越频率，使相位就在那里被抬起。补偿器加入的增益会把交越频率略向右移，所以也把 ω_m 略升，让峰重新对准新的交越点。

裕度薄（补偿不足）

一极一零，重塑相位

超前补偿器形如 C(s) = (1+αTs)/(1+Ts)，α>1，把零点放在 s = −1/(αT)、极点放在 s = −1/T。零点比极点更靠近原点、先起作用，所以在两个转折频率之间相位被抬为正。在波特图上，相位在零点处试图升向 +90°，又被极点拉回，在两转折的几何平均 ω_m = 1/(T√α) 处达到最大。该最大值只取决于间隔比 α：φ_max = asin((α−1)/(α+1))。α 越大峰越高，但在同一 ω_m 处补偿器的增益也升高 √α 倍。所以超前补偿是一桩交易：借来相位，交出高频增益。

观察a lead compensator lifts the phase near crossover

超前补偿器在交越频率抬高相位、增大相位裕度。

选择the peak phase φ_max depends only on ?

峰值相位 φ_max = asin((α−1)/(α+1)) 只取决于间隔比 α。

填空to cut steady-state error, use a ? compensator

滞后补偿器抬高低频增益、减小稳态误差。

自己来lead raises high-frequency gain, so it amplifies ?

超前抬高高频增益，故放大噪声（与微分项相同的弱点）。

滞后补偿是镜像

滞后补偿器形式相同，但 α<1，极点比零点更靠近原点。这次相位略向负凹陷，作为交换，从低频到高频增益下降 1/α 倍。反过来说，就是相对高频把低频增益抬高 1/α 倍。所以滞后补偿器提高稳态精度：直流增益增大，会缩小我们在 F5 见到的稳态误差。相位凹陷的代价，靠把两个转折放在远低于交越频率处来规避；在那里凹陷已回到零，几乎不触动交越处的相位裕度。若说超前像微分项那样增添相位与速度，那么滞后就像积分项那样增添低频增益、减小误差。两者并用，便是超前滞后补偿。

用电路搭起的补偿器，及其局限

补偿器的魅力在于只需一极一零，于是用一个运算放大器加几个电阻电容就能直接做成电路。超前补偿器近似微分器，但它的极点为高频增益封顶，缓解了纯微分无限放大噪声的问题。事实上，PID 的实用形式正是超前滞后补偿：积分项是原点处的极点（滞后的极端），带滤波器的微分项就是超前补偿器。所以两者是用不同语言说同一件事。在时域里选三个增益是 PID 整定；在频域里安放极零点、塑造波特图是补偿器设计。局限同样清楚。超前抬高高频增益，故对噪声与饱和敏感；滞后加入一个慢极点，故拉长整定时间。所以用超前借相位、用滞后补精度，且各自只用到真正需要的程度，这便是设计的功夫。

回到第一屏

我们给只有 11° 裕度的开环加上了超前补偿器。增大 α 在相位上立起一个峰，把中心频率 ω_m 对准增益过 0 dB 的交越频率，相位就在那里从 −180° 远远抬起，相位裕度升到了健康的值。补偿器仅用一极一零，就在我们想要的地方把波特图的相位抬了上去。若说超前借来相位、增添速度与稳定，那么滞后就增添低频增益、补足精度。在 F3 里只能读出的相位裕度，如今我们通过设计补偿器亲手造了出来。

补偿器 C(s) = (1+αTs)/(1+Ts) 用一极一零塑造开环的波特图。超前（α>1，零点在先）在 ω_m = 1/(T√α) 处把相位抬高 φ_max = asin((α−1)/(α+1))，增大相位裕度（像微分项那样增添速度与稳定，但以 √α 倍高频增益放大噪声）。滞后（α<1，极点在先）把低频增益抬高 1/α 倍，减小稳态误差（像积分项那样，把两个转折放在交越频率以下以避开相位损失）。把相位峰对准交越频率是设计的核心，而 PID 的实用形式正是超前滞后补偿。

进入下一单元

我们说滞后补偿器靠抬高低频增益来减小稳态误差，但那误差究竟由什么决定？下一单元稳态误差将展示：开环在原点处的极点数目，即系统型别（0 型、1 型、2 型），如何决定对阶跃、斜坡、抛物线输入的最终误差。位置误差常数 K_p、速度误差常数 K_v、加速度误差常数 K_a 各自以该误差的倒数出现，而原点处一个极点会把对某一类输入的误差整个化为零。滞后补偿器靠抬高直流增益所做的事，与积分项靠在原点加极点所做的事，在这里被整理成一张表。