SC · 信号基础

系统的性质

系统接收一个信号，把它变成另一个信号。用线性、时不变、因果这三个相互独立的性质来划分这种变换，并亲自确认其中最重要的线性就是叠加。

两条路径何时一致

两个浅色的峰是测试输入 x₁ 和 x₂，系统为 S{u} = u + εu²。把两个输入先相加再通过系统一次的结果（金色），与分别通过后再相加的结果（蓝色虚线）作比较：ε 较大时，两者在两个输入重叠的中间部分分开。逐步减小非线性强度 ε，看两条路径何时完全重合。

先合后过 S{x₁+x₂}分别过后再合 S{x₁}+S{x₂}

非线性强度 ε0.45

系统与叠加状态

S{x} = x + 0.45 x²

在两个输入重叠的中间区段，两条路径分得很开。何时相加会改变结果，叠加被破坏了，这个系统是非线性的。

非线性

线性性就是叠加

线性系统遵守两条规则。输入放大 a 倍，输出也放大 a 倍（齐次性）；输入两个信号之和，输出也是两个输出之和（可加性）。把这两条合成一行就是 S{a·x₁ + b·x₂} = a·S{x₁} + b·S{x₂}，所以任何输入写成若干部分之和，输出也就是同样组合的输出之和。像图中的系统那样混入 u² 项，就会产生交叉项，两条路径之差恰好是 S{x₁ + x₂} − S{x₁} − S{x₂} = 2εx₁x₂。所以只有在两个输入同时都大的地方才会分开。

观察S{a x₁ + b x₂} = a S{x₁} + b S{x₂}

线性 = 缩放与求和原样通过。

选择x(t − t₀) → ?

时不变 = 延迟输入即延迟输出。

填空y(t): x(τ), τ ?

因果 = 只看过去与现在。

自己来y = x ?

LTI 的输出是卷积。

时不变性：延迟进，延迟出

时不变系统的特性不随时间改变。因此输入延迟 t₀，输出也只是保持形状延迟 t₀；写成式子就是：若 x(t) → y(t)，则 x(t − t₀) → y(t − t₀)。不管今天输入还是明天输入，得到的响应都一样。图中的 S{u} = u + εu² 系数不随时间变化，所以无论 ε 为何值都是时不变的。

因果性与 LTI

因果系统的输出只取决于当前和过去的输入，看不到未来的输入；也就是说，y(t) 只由 τ ≤ t 的 x(τ) 决定，所有实时工作的系统都是因果的。图中的系统只看当前输入，是无记忆系统，因此也是因果的，这再次说明三个性质相互独立。既线性又时不变的系统称为 LTI，LTI 由一个冲激响应完全确定，输出由卷积 y = x ∗ h 得到。下一章整个都建立在 LTI 之上。

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只有把非线性强度 ε 减到 0 时，两条路径才完全重合。先加后加都一样的这种一致就是叠加，也就是线性。线性、时不变、因果是向系统提出的三个相互独立的问题：输入相加、缩放后是否原样保持，延迟后是否同样延迟，是否不看未来。既线性又时不变，这个系统就成了可以用一个冲激响应完全描述的 LTI。

系统按三个独立的性质划分。线性是指叠加成立，即 S{a·x₁ + b·x₂} = a·S{x₁} + b·S{x₂}（齐次性 + 可加性）。时不变是指若 x(t) → y(t)，则 x(t − t₀) → y(t − t₀)，即特性不随时间改变。因果是指 y(t) 只依赖 τ ≤ t 的 x(τ)，不看未来。既线性又时不变的系统为 LTI，其输出由一个冲激响应 h 按 y = x ∗ h 确定。

进入下一章

一个系统同时具备线性和时不变性就成为 LTI，信号与系统真正的威力从这里开始。下一章 LTI 系统与卷积将用单一的信号即冲激响应完全刻画 LTI，并用卷积计算任意输入的输出。刚才看到的叠加正是这种计算的钥匙，因为卷积就是把任意输入拆成冲激之和，再用叠加把各个冲激响应加回去。