SC · 信号基础
系统的性质
系统接收一个信号并把它变成另一个。我们用线性 · 时不变 · 因果这些独立性质来划分这种变换。你将亲眼看到最重要的线性性，正是叠加。
两条路径何时一致
比较把两个输入先相加后让系统通过一次的结果(金色)，与分别通过再相加的结果(蓝色虚线)。调小非线性强度 ε，找出两条路径何时精确叠合。
先合后过 S{x₁+x₂}分别过后再合 S{x₁}+S{x₂}
非线性强度 ε0.45
系统与叠加状态
S{x} = x + 0.45 x²
在两个输入重叠的区间，两条路径大幅分开。合并的顺序改变了结果，叠加被破坏。这个系统是非线性的。
非线性
线性性就是叠加
线性系统遵守两点。把输入放大 a 倍，输出也放大 a 倍(齐次性)；把两个输入相加输入，输出也是两个输出之和(可加性)。把两者并成一行：S{a·x₁ + b·x₂} = a·S{x₁} + b·S{x₂}。所以无论把输入写成怎样的分量之和，输出都是这些输出的同样组合。一旦有非线性项(如 x²)，就产生交叉项，破坏这个等式。
观察S{a x₁ + b x₂} = a S{x₁} + b S{x₂}
线性 = 缩放与求和原样通过。
选择x(t − t₀) → ?
时不变 = 延迟输入即延迟输出。
填空y(t): x(τ), τ ?
因果 = 只看过去与现在。
自己来y = x ?
LTI 的输出是卷积。
时不变性：延迟进，延迟出
时不变系统的行为不随时间改变。所以把输入延迟 t₀，输出也只是形状不变地延迟同样的 t₀。用符号表示：若 x(t) → y(t)，则 x(t − t₀) → y(t − t₀)。无论今天还是明天输入，都给出相同的响应。
因果性与 LTI
因果系统的输出只依赖现在与过去的输入，绝不看未来。即 y(t) 仅由 x(τ), τ ≤ t 确定。所有实时运行的系统都是因果的。既线性又时不变的系统称为 LTI，LTI 由单个冲激响应完全确定，其输出由卷积 y = x ∗ h 给出。下一章整章都立于这个 LTI 之上。
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只有当非线性强度降到 0，两条路径才精确叠合。先合还是后合都一样的这种一致，正是叠加，也就是线性性。线性 · 时不变 · 因果是向系统抛出的三个彼此独立的问题：和与缩放是否保持，延迟是否只延迟输出，是否不看未来。既线性又时不变，系统就成为可由单个冲激响应完全描述的 LTI。
系统由三个独立性质划分。线性指叠加成立，即 S{a·x₁ + b·x₂} = a·S{x₁} + b·S{x₂}(齐次性 + 可加性)。时不变指若 x(t) → y(t) 则 x(t − t₀) → y(t − t₀)，行为不随时间改变。因果指 y(t) 仅依赖 x(τ), τ ≤ t，绝不看未来。既线性又时不变即 LTI，由单个冲激响应 h 把输出确定为 y = x ∗ h。
进入下一章
当一个系统同时具有线性性与时不变性，就成为 LTI，信号与系统的真正威力由此显现。下一章LTI 与卷积用单个信号——冲激响应——完全刻画 LTI，并用卷积计算任意输入的输出。你刚看到的叠加正是让这一切成立的钥匙：卷积把任意输入拆成冲激之和，再用叠加把各冲激响应加回来。