SC · 信号基础

信号的运算

学习在时间轴上平移、伸缩、翻转信号的三种运算如何作用于自变量 t。本单元的关键在于：同时包含平移和缩放的 x(at − b)，要按什么顺序去读才能与图形对得上。

用两个滑杆叠到目标波形上

浅灰色曲线是原信号 x(t)，在 t = 0 处跳起，然后按指数衰减。金色虚线是要对齐的目标，移动倍率 a 和平移 b，蓝色曲线 y(t) = x(at − b) 就随之变化。把蓝色曲线严丝合缝地叠到目标上，它会变成金色，找出此时的 a 和 b 就是这一屏的任务。

原信号 x目标

倍率 a1.00

平移 b0.00

当前变换

y(t) = x(1.00 t)

起点和宽度都与目标不同。a 用来调宽度，b 用来调起点位置，但起点 b/a 由两个手柄共同决定，只动一个很难对上。

相差很远

时间平移把整体左右移动

x(t − t₀) 把整个信号向右平移 t₀。明明是减号却向右移，是因为要到 t = t₀ 时才出现原来 t = 0 的值。也就是说信号晚到了，这就是延迟；反过来，x(t + t₀) 把信号向左拉，让它提前到达。

时间缩放是压缩与扩张

在 x(at) 中，a > 1 时时间流得更快，信号被压缩；0 < a < 1 时信号被拉伸，宽度变为原来的 1/a 倍。关键在于：乘在时间轴上的是 a，而结果的宽度却是它的倒数。本单元的原信号以时间常数 1/1.4 ≈ 0.71 衰减，所以 a = 2 时这一时间减半，约为 0.36。

观察y(t) = x(t − t₀)

减去 t₀ 就向右平移（延迟）。

选择y(t) = x(?)

a > 1 时压缩，宽度为 1/a。

填空y(t) = x(?)

符号取反即左右翻转。

自己来y(t) = x(?)

先压缩 a 倍，再向右平移 t₀。

反转与读取顺序

x(−t) 把信号左右翻转。平移和缩放同时出现时要注意顺序：把 at − b 写成 a(t − b/a)，就能看出 x(at − b) 等于先像 x(at) 那样压缩 a 倍、再向右平移 b/a。先平移 b 再压缩 a 倍也能得到同样的结果，但若先平移 b/a 再压缩，起点就会跑到 b/a²，那就错了。图中起点恰好落在 b/a、宽度恰好是 1/a，原因就在这里。

回到第一屏

要叠到目标上，必须同时调好 a 和 b；对上的那一刻，蓝色曲线的起点在 b/a = 1，宽度是原来的 1/2。这就是“把 x(at − b) 读成先压缩 a 倍、再平移 b/a 的信号”的含义。两个滑块是分开移动的，但画面清楚地显示：起点由二者之比 b/a 决定，宽度只由 a 决定。

对自变量施加的运算会使时间轴反向移动。时间平移 x(t − t₀) 在 t₀ > 0 时右移（延迟），在 t₀ < 0 时左移。时间缩放 x(at) 在 |a| > 1 时压缩，在 |a| < 1 时扩展，宽度变为 1/|a| 倍。反转 x(−t) 把左右翻过来。组合形式 x(at − b) = x(a(t − b/a)) 读作先压缩 a 倍再平移 b/a，或先平移 b 再压缩 a 倍。

进入后续单元

时间平移和反转在下一章马上就要用到。卷积就是把冲激响应翻转（反转）、滑动（平移），并累加重叠面积的运算。时间缩放会在采样和频率缩放中再次出现，表现为时间与频率互为倒数地伸缩。下一单元信号的偶·奇分解将按对称性拆分信号，并顺带用能量和功率来衡量信号的大小。