SC · LTI 与卷积
阶跃响应
给系统输入单位阶跃，所出的输出就是阶跃响应。亲眼看到它是冲激响应的累积积分，并且在稳定系统中趋于有限的终值。
s 是否趋于终值
上方是冲激响应 h(τ)，到滑动时刻 t 为止的绿色面积就是该时刻的阶跃响应 s(t)。下方是那条 s(t) 曲线。增大 t，看 s 越过峰值后趋于虚线终值。
冲激响应 h(τ)
阶跃响应 s(t) = 累积面积终值 s(∞)
时刻 t0.30
当前值与终值
s(0.30) = 0.105 s(∞) = 0.311
时刻还早。累积面积刚开始累积，s 远在终值之下。这是输出正在响应的过渡区间。
未稳定
输入阶跃使冲激响应累积
单位阶跃 u(t) 是把冲激从左累积到 t(A2)。系统是 LTI，所以对输入的积分，输出也以积分回应。于是阶跃响应就是把冲激响应同样累积起来，s(t) = ∫₀ᵗ h(τ) dτ。屏幕上的绿色面积在每个时刻恰好画出这个值。
观察s(t) = ∫ h(τ) dτ
阶跃响应是冲激响应的累积。
选择h(t) = ?
对阶跃响应求导得冲激响应。
填空s(∞) = ?
终值是 h 的总面积。
自己来s = h ?
阶跃响应是 h 与阶跃的卷积。
s 与 h 是积分·微分对
累积即积分，所以反过来对阶跃响应求导就得回冲激响应：h(t) = ds/dt。实践中精确的冲激难以制造，而阶跃容易产生，所以工程上测量阶跃响应再求导来得到冲激响应。正如 A2 中冲激与阶跃成对，两个响应也成对。
终值是直流增益
稳定系统中 h 衰减到 0，所以累积面积停止，s 在有限终值处稳定。该值 s(∞) = ∫₀^∞ h(τ) dτ 是对恒定(DC)输入的输出大小，即直流增益。到达前的上升时间、超调、稳定时间都是从这条阶跃响应读出的工程指标，将在控制设计中再详述。
回到第一屏
h 的正峰加入时 s 快速上升并越过终值；接着负谷加入而振荡，h 衰减到 0 后稳定。到滑动时刻为止的绿色面积，每一刻都恰是 s(t)。阶跃响应是冲激响应积分一次，求导则回到 h。稳定的那个值就是直流增益。如此，用一个冲激响应，LTI 系统的时域图景就完整了。
阶跃响应 s(t) 是给 LTI 系统输入单位阶跃 u(t) 时所出的输出，是冲激响应的累积积分。s(t) = ∫₀ᵗ h(τ) dτ = (h ∗ u)(t)，反过来 h(t) = ds/dt。稳定系统中 s 趋于有限的终值 s(∞) = ∫₀^∞ h(τ) dτ，即直流增益。上升时间、超调、稳定时间都是从 s 读出的工程指标。
进入下一章
至此我们在时域中完整描绘了 LTI 系统：一个冲激响应加卷积，就能得出任意输入的输出。但卷积很费力。下一章傅里叶开启把信号看作正弦波之和的新视角。给 LTI 系统输入正弦波，出来的是同频率、仅幅度与相位改变的正弦波，于是时域中繁琐的卷积变成频域中简单的乘法。其起点就是下一单元傅里叶级数。