SC · LTI 与卷积

阶跃响应

给系统输入单位阶跃时得到的输出就是阶跃响应。亲自确认：它是冲激响应的累积积分，而且在稳定的系统中，它会稳定在一个有限的终值上。

s 是否稳定在终值上

上图是冲激响应 h(τ) = e^(−0.8τ) sin 3τ，从 0 到滑动时刻 t 的绿色面积就是该时刻的阶跃响应 s(t)。下图是这条 s(t) 曲线。把 t 逐渐调大，s 会越过一个峰再回落，最后稳定在虚线所示的终值约 0.311 上。

冲激响应 h(τ)

阶跃响应 s(t) = 累积面积终值 s(∞)

时刻 t0.30

当前值与终值

s(0.30) = 0.105  s(∞) = 0.311

时刻还早，h 的第一个波峰正在累积，s 迅速上升。s 从 0 出发，在 t ≈ 0.6 时就已越过终值，但还看不出要停下的样子，这是输出正在寻找落脚点的过渡区段。

未稳定

输入阶跃使冲激响应累积

单位阶跃 u(t) 就是把冲激从左边一直累积到 t 的结果（A2）。系统是 LTI 的，输入积分后，输出也以积分作答，所以阶跃响应就是把冲激响应同样累积起来的 s(t) = ∫₀ᵗ h(τ) dτ。画面中的绿色面积，在每个时刻画出的正是这个值。

观察s(t) = ∫ h(τ) dτ

阶跃响应是冲激响应的累积。

选择h(t) = ?

对阶跃响应求导得冲激响应。

填空s(∞) = ?

终值是 h 的总面积。

自己来s = h ?

阶跃响应是 h 与阶跃的卷积。

s 与 h 是积分·微分对

累积就是积分，所以反过来，对阶跃响应求导就回到冲激响应：h(t) = ds/dt。实际中很难造出精确的冲激，但阶跃却很容易产生，所以常常通过测量阶跃响应再求导来得到冲激响应。正如冲激与阶跃在 A2 中是一对，这两个响应也是一对。

终值是直流增益

在稳定系统中，h 衰减到 0，累积面积也随之停下，s 稳定在一个有限的终值上。这个值 s(∞) = ∫₀^∞ h(τ) dτ 是恒定输入（DC）下输出的大小，也就是直流增益。在这张图中，∫₀^∞ e^(−0.8τ) sin 3τ dτ = 3/(0.8² + 3²) ≈ 0.311，而峰值 0.446 比它高出约 43%，这就是超调。上升时间、超调量和调节时间都是从这条阶跃响应中读出的实用指标，控制设计中还会详细讨论。

回到第一屏

h 的正波峰加进来时，s 迅速上升并越过终值；接着负波谷加进来，s 来回摆动，等 h 衰减到 0 时便稳定下来。到滑动时刻为止的绿色面积，每一刻都恰好等于 s(t)。阶跃响应是冲激响应积分一次的结果，求导又回到 h，稳定下来的那个值就是直流增益。就这样，用一个冲激响应完成了 LTI 系统在时域中的全貌。

阶跃响应 s(t) 是输入单位阶跃 u(t) 时 LTI 系统的输出，是冲激响应的累积积分：s(t) = ∫₀ᵗ h(τ) dτ = (h ∗ u)(t)，反过来 h(t) = ds/dt。在稳定系统中，s 稳定在有限的终值 s(∞) = ∫₀^∞ h(τ) dτ，即直流增益上。上升时间、超调量、调节时间都是从 s 读出的实用指标。

进入下一章

到这里，LTI 系统在时域中已经完整地画出来了。只要有一个冲激响应和卷积，就能求出任意输入的输出，但卷积的计算相当费事。下一章傅里叶将打开一个新视角：把信号看成正弦波之和。给 LTI 系统输入正弦波，输出是同频率的正弦波，只是幅度和相位发生了变化，所以时域中繁琐的卷积就变成了频域中简单的乘法。它的起点就是下一单元傅里叶级数。