Señales, Sistemas y Control

Continua/discreta, periódica/aperiódica. Superpón etiquetas candidatas y fija su tipo con dos preguntas independientes.

Impulso, escalón, exponencial. El escalón es la integral acumulada del impulso y el impulso es la derivada del escalón. Barre el límite superior y ve crecer el escalón.

Desplazamiento temporal, escalado, reflexión. Desliza dos parámetros para superponer una señal sobre un objetivo y lee x(at − b) de dentro hacia fuera.

Toda señal se divide de forma única en una parte par y una impar. Pliega la señal contra su reflejo para extraer las dos piezas y distingue señales de energía de las de potencia.

Lineal, invariante, causal. Baja la no linealidad para hallar cuándo coinciden dos caminos, ve que la linealidad es superposición y llega al LTI.

Un sistema LTI queda fijado por completo por su respuesta h(t) a un solo impulso. Mueve la amplitud y posición del impulso para ver que la salida es siempre una copia de h.

La convolución voltea la respuesta, la desliza y mide el área de solape con la entrada. Mueve la posición y ve el solape trazar la curva de salida.

Divide el tiempo en intervalos en los puntos de quiebre e integra el producto en cada uno. Ve dos pulsos rectangulares convolucionarse en un triángulo, pieza por pieza.

Estabilidad y causalidad están escritas en la forma de h. Mueve la tasa de decaimiento y ve que la estabilidad es cuando el área |h| acumulada llega a un techo.

La respuesta al escalón es la integral acumulada de la del impulso, y derivar la devuelve. Aumenta el tiempo y ve a s asentarse en el valor final (ganancia DC).

Una señal periódica es suma de armónicos a múltiplos enteros de la fundamental. Añade armónicos y ve la suma parcial reconstruir una onda cuadrada, con el fenómeno de Gibbs.

El espectro ve una señal en el eje de frecuencia. Desliza la frecuencia de una sinusoide para mover su línea espectral y ver que tiempo y frecuencia son un par.

Estira el periodo al infinito y las líneas armónicas discretas se funden en un espectro continuo. Mueve el ancho del pulso para ver la reciprocidad rect ↔ sinc entre tiempo y frecuencia.

La convolución en el tiempo se vuelve multiplicación en frecuencia. Mueve el ancho de h para ver el teorema de convolución: y=x∗h y Y=X·H cambian juntos.

La respuesta H(ω) tiene la magnitud como ganancia y la fase como retardo. Sube la frecuencia y ve la sinusoide encogerse y retrasarse: banda de paso y de rechazo.

Un diagrama de Bode dibuja la magnitud en dB y la frecuencia en eje logarítmico, enderezando la curva en asíntotas. Mueve la esquina para ver la pendiente de −20 dB/década.

Filtrar multiplica el espectro por un filtro. Usa botones de tipo y un deslizador de corte para emparejar la banda de paso con un objetivo, viendo el ancho de banda y los cuatro filtros.

La transformada de Laplace añade un factor e^(−σt) a Fourier, ampliando jω a s=σ+jω. Mueve σ para ver la ROC donde converge una señal creciente.

La posición de un polo en el plano s es el comportamiento del sistema. Muévelo con σ y ω para ver el semiplano izquierdo estable y el derecho divergente.

La función de transferencia H(s)=salida/entrada es el sistema mismo. Mueve un coeficiente y ve la EDO, H(s), el polo y la respuesta moverse como uno.

En serie multiplica, en paralelo suma, la realimentación da H/(1+HG). Sube la ganancia para mover el polo de una planta inestable al semiplano izquierdo y estabilizarla.

La posición del polo fija la forma de la respuesta. Primer orden es una exponencial con constante τ; en segundo orden, ζ y ωn lo dividen en sobre-, crítica- y subamortiguado. Ajusta ζ para asentar más rápido sin sobrepaso.

Para reconstruir una señal continua desde muestras, la tasa de muestreo debe superar el doble de la frecuencia más alta (Nyquist). Mueve la tasa para ver el aliasing y la condición de recuperación.

La frecuencia de plegado fs/2 es un espejo. Una frecuencia verdadera por encima se pliega al fantasma más bajo |f − fs·round(f/fs)|. Sube f para ver el triángulo de plegado y los efectos de rueda, muaré y tono.

La transformada de Laplace de una señal discreta. Un retardo de un paso = multiplicar por z⁻¹, así un polo z = r·e^(jθ) fija el modo rⁿ cos(θn). La frontera de estabilidad es el círculo unitario (|z|<1). Mueve el polo del plano z.

Un LTI discreto queda fijado por una respuesta al impulso h[n], y la salida es la convolución discreta Σ h[k]x[n−k]. Alarga h[n] con el suavizado para recortar ruido. FIR e IIR y estabilidad en el círculo unitario.

La DTFT es el espectro de una señal discreta (la transformada z en el círculo unitario); la DFT la muestrea en N puntos para calcularla (FFT). En un bin, un pico limpio; fuera, fuga espectral.

Decide la estabilidad solo con los coeficientes del polinomio característico, sin resolver los polos. Los cambios de signo de la primera columna de Routh igualan los polos en el semiplano derecho. Mueve la ganancia K para hallar dónde cruzan el eje imaginario.

El camino que los polos de lazo cerrado (raíces de 1+KG=0) trazan en el plano s al variar la ganancia K, de los polos de lazo abierto hacia los ceros, cruzando el eje imaginario. Lleva los polos a una línea ζ=0.5 objetivo para leer la ganancia de diseño.

En el diagrama de Bode de lazo abierto, lee la distancia a la inestabilidad (la condición −1) como margen de fase y de ganancia. Mueve la ganancia K y observa cómo ambos llegan a cero en K=6 (la misma frontera que F1 y F2).

Dibuja el lazo abierto L(jω) en el plano complejo y juzga la estabilidad por rodeos de −1 (Z=N+P). Mueve la ganancia K para ver el cruce −K/6 pasar −1 y la curva rodearlo (la frontera K=6).

Envuelve un controlador PID u=Kp·e+Ki·∫e+Kd·de/dt alrededor de la planta G=1/((s+1)(s+2)) y moldea la respuesta al escalón. Solo el proporcional deja un error de estado estacionario, el integral lo lleva a cero, y el derivativo doma la oscilación. Mueve las tres ganancias para ajustar una respuesta rápida, precisa y suave (característica de lazo cerrado s³+(3+Kd)s²+(2+Kp)s+Ki).

Inserta un compensador C(s)=(1+αTs)/(1+Ts) en la misma planta que F1 a F4 y da forma a la fase y la ganancia del Bode. El adelanto (α>1) eleva la fase en φ_max=asin((α−1)/(α+1)) en ω_m=1/(T√α) para subir el margen de fase (como el término derivativo); el retardo (α<1) sube la ganancia de baja frecuencia para reducir el error de estado estacionario (como el término integral). Mueve α y ω_m para asentar la joroba en el cruce y subir el PM desde unos 11° hasta un valor sano.

Lee el error con que se queda un lazo cerrado mediante el teorema del valor final e_ss=lim_{s→0} s·R/(1+L). Con botones de entrada (escalón, rampa, parábola) y de tipo de sistema (tipo 0, 1, 2 = polos en el origen) y una ganancia K, moldea el error de seguimiento e(t): cuando el tipo supera el orden de la entrada el error es cero, igual da finito (1/(1+Kp), 1/Kv, 1/Ka), menor diverge. El tipo 1 K/(s(s+1)(s+2)) es la planta de F1 a F6. El final del capítulo de control.