Propiedades de la transformada
Convolución y producto se mueven juntos
La figura de arriba es la salida en el tiempo y = x ∗ h, la convolución de un pulso rectangular x de ancho 1 con un pulso rectangular h cuyo ancho puedes cambiar, y la curva dorada discontinua es su objetivo. En la figura de abajo, la curva verde es el espectro de salida Y = X·H, la X gris tenue y la H azul tenue multiplicadas punto a punto. Mueve el ancho de h y la convolución de arriba y el producto de abajo cambian siempre juntos; cuando la salida de la figura de arriba llega a su objetivo, el producto de abajo también se convierte en el espectro de ese objetivo.
La convolución se vuelve multiplicación
La propiedad clave de la transformada de Fourier es el teorema de convolución. Si y = x ∗ h en el dominio del tiempo, entonces Y(ω) = X(ω) H(ω) en el dominio de la frecuencia, así que la integral de deslizar y sumar se convierte en un simple producto entre frecuencias iguales. Aquí H(ω) es la transformada de Fourier de la respuesta al impulso h, es decir, la respuesta en frecuencia del sistema. El cálculo de la salida LTI visto en el capítulo B termina, en frecuencia, con una sola multiplicación.
Desplazar es fase, escalar es recíproco
Otras propiedades también convierten la transformada en una herramienta de cálculo. Por la linealidad, las sumas y los escalados de las entradas pasan tal cual a la transformada. En un desplazamiento temporal, la transformada de x(t − t₀) es X(ω) multiplicada por e^(−jωt₀), así que la magnitud |X| no cambia y solo la fase se inclina en proporción a la frecuencia. En el escalado temporal, la transformada de x(at) es (1/|a|)X(ω/a), así que la relación inversa vista en C3 se vuelve una propiedad: comprimir una señal en el tiempo la estira en la frecuencia.
Por qué esto es poderoso
El teorema de convolución es poderoso porque, en el dominio de la frecuencia, un sistema LTI trata cada frecuencia por separado. Si a un sistema LTI le entra una sinusoide, sale una sinusoide de la misma frecuencia con su tamaño y su fase cambiados por H(ω), así que las sinusoides son las autofunciones de los sistemas LTI y H(ω) es su autovalor. Por eso una convolución complicada se descompone en un producto independiente por frecuencia. Qué hace H(ω) en cada frecuencia es el tema de la próxima unidad, la respuesta en frecuencia.
De vuelta a la primera pantalla
Cada vez que se movía el ancho de h, la salida en el tiempo y = x ∗ h y la salida en frecuencia Y = X·H cambiaban juntas. Es porque son una pareja: la misma señal vista en el tiempo y en la frecuencia. En el tiempo era una convolución de deslizar y sumar, pero en la frecuencia era multiplicar dos espectros punto a punto, y en el momento en que los anchos coincidieron apareció la pareja de un triángulo y una sinc². Este teorema de convolución, que convierte una operación difícil en una fácil, es la razón clave de que Fourier se use tanto en ingeniería.
El teorema de convolución metió lo que hace un sistema en una sola función, H(ω). La próxima unidad, la respuesta en frecuencia, examina esa H(ω) en sí: la magnitud |H(ω)| indica cuánto se amplifica o atenúa cada frecuencia, y la fase ∠H(ω) cuánto se retrasa cada una. Mete una sinusoide y mide la razón de amplitudes y la diferencia de fase de la sinusoide que sale, y queda claro de un vistazo qué frecuencias deja pasar el sistema y cuáles bloquea.