Propiedades de la transformada
Convolución y producto se mueven juntos
Arriba está la salida temporal y = x ∗ h; abajo su espectro. En frecuencia la salida Y es X·H, la entrada X por el sistema H punto a punto. Mueve el ancho de h y mira la convolución en tiempo y el producto en frecuencia cambiar juntos, llegando al objetivo discontinuo a la vez.
La convolución se vuelve multiplicación
La propiedad clave de la transformada de Fourier es el teorema de convolución. Si y = x ∗ h en el tiempo, entonces Y(ω) = X(ω) H(ω) en frecuencia. La integral de deslizar y sumar se vuelve un simple producto de frecuencias iguales. Aquí H(ω) es la transformada de la respuesta al impulso h: la respuesta en frecuencia del sistema. El cálculo de salida LTI del capítulo B termina en una multiplicación en frecuencia.
Desplazar es fase, escalar es recíproco
Otras propiedades vuelven la transformada un cálculo. Linealidad: sumas y escalas de la entrada se suman y escalan también en la transformada. Desplazamiento: la transformada de x(t−t₀) es X(ω) por e^(−jωt₀), dejando la magnitud |X| igual y solo inclinando la fase. Escalado: la transformada de x(at) es (1/|a|)X(ω/a), haciendo de la reciprocidad de C3 una propiedad: comprime una señal en el tiempo y se dilata en frecuencia.
Por qué esto es poderoso
El teorema de convolución es poderoso porque, en frecuencia, un sistema LTI trata cada frecuencia por separado. Mete una sinusoide a un LTI y sale una sinusoide de la misma frecuencia, cambiada en amplitud y fase por H(ω). Es decir, las sinusoides son las autofunciones de los sistemas LTI y H(ω) es el autovalor. Así, una convolución compleja se descompone en un producto independiente por frecuencia. Qué hace H(ω) en cada frecuencia es el tema de la próxima unidad, la respuesta en frecuencia.
De vuelta a la primera pantalla
Cada vez que movías el ancho de h, la salida temporal y = x ∗ h y la de frecuencia Y = X · H cambiaban juntas y llegaban juntas al objetivo, porque son un par: la misma señal vista en tiempo y en frecuencia. En el tiempo era una convolución de deslizar y sumar; en frecuencia era multiplicar dos espectros punto a punto. Este teorema de convolución, que cambia una operación difícil por una fácil, es la razón central de que Fourier se use tanto en ingeniería.
El teorema de convolución comprimió la acción de un sistema en la sola función H(ω). La próxima unidad, la respuesta en frecuencia, mira H(ω) misma. Su magnitud |H(ω)| dice cuánto se amplifica o atenúa cada frecuencia; su fase ∠H(ω), cuánto se retarda cada una. Mete una sinusoide y mide la razón de amplitud y el desfase de la que sale, y qué frecuencias pasa y cuáles bloquea el sistema queda claro de un vistazo.