El control PID
Tres términos para una respuesta rápida y precisa
Se pone un controlador PID sobre la planta G(s) = 1/((s + 1)(s + 2)) para que siga el valor objetivo 1 (línea punteada). La curva dorada es la respuesta al escalón en lazo cerrado de t = 0 a 12, y el error en estado estacionario y el sobreimpulso de la casilla de abajo se miden sobre la curva en esos 12 segundos. Al principio solo está la ganancia proporcional Kp = 4, así que la salida se detiene en 4/6 ≈ 0,67 y queda un error en estado estacionario de 0,33. Si subes la ganancia integral Ki, el error restante se acumula y empuja la salida hasta el objetivo; con solo Ki = 2 el error ya es casi 0 en 12 segundos. Pero si subes mucho Ki, el sobreimpulso crece, así que terminas ajustando también Kp y Kd para encontrar una respuesta rápida, sin error y suave.
Presente, pasado y futuro del error
Un controlador PID recibe un solo error e(t), la diferencia entre el valor objetivo y la salida, y lo suma de tres maneras para formar la entrada de control u = Kp·e + Ki·∫e dt + Kd·de/dt. El término proporcional responde de inmediato en proporción al error presente: empuja fuerte si el error es grande y suave si es pequeño; es el término más intuitivo. El término integral acumula el error con el tiempo, de modo que incluso un error pequeño que persiste hace crecer la integral hasta expulsarlo. El término derivativo responde a la rapidez con que cambia el error, así que, cuando el error se reduce deprisa, anticipa que se va a pasar y frena antes. En efecto, los tres miran el presente, el pasado y el futuro del error.
El límite de P, la precisión de I, la estabilidad de D
El control proporcional por sí solo deja un error en estado estacionario. Como la entrada de control es u = Kp·e, para mantener una entrada distinta de 0 en estado estacionario el error e tiene que ser distinto de 0. La planta de este ejemplo tiene una ganancia de continua de 1/2, así que con solo Kp la salida se detiene en Kp/(2 + Kp) y siempre se queda corta. El término integral lo resuelve. Mientras quede algo de error, la integral sigue acumulándose y aumentando la entrada, y solo se detiene cuando el error es exactamente 0, de modo que el error en estado estacionario se vuelve 0. A cambio, la integral añade un polo en el origen que retrasa la fase y hace la respuesta propensa a oscilar, mientras que el término derivativo hace lo contrario: adelanta la fase y añade amortiguamiento. Fijar la rapidez con la parte proporcional, borrar el error con la integral y añadir amortiguamiento con la derivativa es el reparto de tareas del PID.
Ajuste y trampas del mundo real
El PID es la herramienta estándar del control industrial y se usa en temperatura, velocidad, posición y caudal por igual. Elegir las tres ganancias se llama sintonía, y como la rapidez, el sobreimpulso y la robustez están entrelazados, mejorar uno suele perjudicar a otro. El método clásico de Ziegler–Nichols apaga los términos integral y derivativo y sube solo la ganancia proporcional para hallar la ganancia crítica en la que el sistema empieza a oscilar de forma sostenida, junto con el periodo de esa oscilación. Ese es el límite de estabilidad visto con el criterio de Routh en la unidad F1 y con el de Nyquist en la unidad F4, y a partir de ahí las tres ganancias se fijan siguiendo una tabla. La realidad también tiene trampas. El término derivativo amplifica los cambios rápidos y, por tanto, también el ruido de medición, así que suele ir acompañado de un filtro pasa bajos, y a veces, como en esta gráfica, la derivada se aplica solo a la salida para que la entrada no salte en el instante en que el objetivo cambia en escalón. Además, si la integral sigue acumulándose mientras la entrada está topada en su límite, después empuja en exceso, un problema llamado saturación integral (windup) que se evita con esquemas antiwindup.
De vuelta a la primera pantalla
En la primera pantalla pusiste un controlador PID sobre la planta G = 1/((s + 1)(s + 2)) y ajustaste las tres ganancias. Con solo la ganancia proporcional quedaba un error en estado estacionario: la salida se detenía antes del objetivo. Al subir la ganancia integral, el error restante se acumuló y llevó la salida exactamente al objetivo, pero subirla demasiado aumentó el sobreimpulso y la oscilación. Ajustar a la vez la proporcional y la derivativa para añadir amortiguamiento volvió a suavizar la respuesta. Con la proporcional encargada de la rapidez, la integral de la exactitud y la derivativa del amortiguamiento, las tres juntas produjeron una respuesta rápida, sin error y bien amortiguada. Los lazos analizados hasta ahora con el criterio de Routh, el lugar de las raíces, el diagrama de Bode y el diagrama de Nyquist recibieron por fin, al diseñar un controlador, la forma deseada.
El PID dio forma a la respuesta en el dominio del tiempo sumando tres términos. La herramienta que hace lo mismo en el dominio de la frecuencia, apuntando directamente a la fase y la ganancia del diagrama de Bode, es el compensador. La siguiente unidad, Compensación de adelanto y retardo, inserta en el lazo una pequeña función de transferencia formada por un polo y un cero. El compensador de adelanto eleva la fase cerca de la frecuencia de cruce y agranda el margen de fase, así que, como el término derivativo, añade amortiguamiento y rapidez; el de retardo eleva la ganancia a bajas frecuencias y mejora la exactitud en estado estacionario, así que, como el término integral, reduce el error. Lo que hacían la D y la I de un PID, el compensador lo vuelve a hacer dando forma a la fase y la ganancia sobre el diagrama de Bode.