El control PID
Tres términos para una respuesta rápida y precisa
Un controlador PID se envuelve alrededor de la planta G(s) = 1/((s+1)(s+2)) para que siga el valor de referencia 1 (línea discontinua). La curva dorada es la respuesta al escalón en lazo cerrado. Al principio solo está la ganancia proporcional Kp, y ves un error de estado estacionario: la salida se queda corta del valor de referencia. Sube la ganancia integral Ki y el error restante se acumula, empujando la salida hasta el valor de referencia. Pero el integral tiende a añadir oscilación, así que sube la ganancia derivativa Kd para presionar el cambio por adelantado y domar la oscilación. Ajusta las tres ganancias para una respuesta rápida, sin error y suave.
Presente, pasado y futuro del error
Un controlador PID toma un solo error e(t), la diferencia entre la referencia y la salida, y lo combina de tres formas en la entrada de control. u = Kp·e + Ki·∫e dt + Kd·de/dt. El término proporcional reacciona de inmediato en proporción al error presente: empuja fuerte cuando el error es grande, suave cuando es pequeño, el término más intuitivo. El término integral acumula el error en el tiempo: incluso un error pequeño, si persiste, hace crecer la integral una y otra vez hasta expulsar ese error. El término derivativo reacciona a cuán rápido cambia el error: si el error cae rápido, prevé el sobrepaso que viene y frena con antelación. Los tres miran, por turno, el presente, el pasado y el futuro del error.
El límite de P, la precisión de I, la estabilidad de D
El control proporcional por sí solo deja un error de estado estacionario. Como la entrada de control es u = Kp·e, para que la entrada mantenga algún valor en estado estacionario el error e debe ser distinto de cero. Esta planta tiene una ganancia de DC de 1/2, así que con solo Kp la salida se queda en Kp/(2+Kp), siempre corta del valor de referencia. El término integral resuelve esto: mientras quede algún error la integral sigue acumulando y subiendo la entrada, y solo se detiene cuando el error es exactamente cero. Así que el integral lleva el error de estado estacionario a cero. A cambio, el integral añade un polo en el origen que retrasa la fase y tiende a hacer oscilar la respuesta. El término derivativo hace lo opuesto, adelantando la fase para añadir amortiguamiento y reducir el sobrepaso. Fijar la velocidad con el proporcional, borrar el error con el integral, y añadir estabilidad con el derivativo es la división del trabajo en un PID.
Ajuste y trampas del mundo real
El PID es la herramienta estándar del control industrial, usada para temperatura, velocidad, posición, caudal, en todas partes. Elegir las tres ganancias se llama ajuste, y velocidad, sobrepaso y robustez están entrelazados de modo que subir uno perjudica a otro. El método clásico de Ziegler–Nichols apaga el integral y el derivativo y sube solo la ganancia proporcional hasta que el sistema apenas empieza a oscilar de forma sostenida, hallando la ganancia crítica y el periodo de esa oscilación, que es justo la frontera de estabilidad vista en el Routh de F1 y el Nyquist de F4. De ahí una tabla fija las tres ganancias. El mundo real también tiene trampas. El término derivativo magnifica los cambios rápidos, así que amplifica el ruido de medición, por lo que se suele poner un filtro pasa-bajos en el derivativo. Y si la integral sigue acumulando mientras la entrada está pegada a un límite, forma un windup integral que sobrepasa después, que el anti-windup previene.
De vuelta a la primera pantalla
Envolvimos un controlador PID alrededor de la planta G = 1/((s+1)(s+2)) y ajustamos las tres ganancias. Con solo la ganancia proporcional quedaba un error de estado estacionario: la salida se quedaba corta del valor de referencia. Subir la ganancia integral acumuló el error restante y llevó la salida exactamente al valor de referencia, pero creció la oscilación. Subir la ganancia derivativa presionó el cambio por adelantado, asentando la oscilación y suavizando la respuesta. El proporcional tomó la velocidad, el integral la precisión, y el derivativo la estabilidad, y juntos hicieron una respuesta rápida, sin error y bien amortiguada. El lazo que habíamos analizado con Routh, el lugar de las raíces, Bode y Nyquist, ahora lo hemos moldeado a la forma que queremos diseñando un controlador.
El PID moldeó la respuesta sumando tres términos en el dominio del tiempo. Un compensador hace lo mismo en el dominio de la frecuencia, apuntando directamente a la fase y la ganancia del diagrama de Bode. La próxima unidad, compensación de adelanto y retardo, inserta una pequeña función de transferencia de un polo y un cero en el lazo. Un compensador de adelanto levanta la fase cerca de la frecuencia de cruce para subir el margen de fase, así que como el término derivativo añade amortiguamiento y velocidad; un compensador de retardo sube la ganancia en bajas frecuencias para mejorar la precisión de estado estacionario, así que como el término integral reduce el error. Lo que hicieron la D y la I de un PID, el compensador lo muestra de nuevo como el modelado de la fase y la ganancia en el diagrama de Bode.