SC · Laplace

La transformada de Laplace

La transformada de Laplace añade un factor de convergencia e^(−σt) a la de Fourier, ampliando la frecuencia jω a un complejo s = σ + jω. Ve de primera mano cómo ese σ doma una señal creciente, de modo que hasta señales que Fourier no maneja se transforman.

¿Se apaga la señal ponderada?

Arriba está una señal creciente e^(at) (tenue) y la señal ponderada (intensa) tras multiplicar por el factor de convergencia e^(−σt). Abajo, la integral acumulada de esa señal ponderada. Sube σ hasta que la señal creciente se apague a 0 y la integral se asiente en un techo. Ahí existe la transformada de Laplace.

señal creciente e^(at)ponderada e^((a−σ)t)

integral acumulada

factor de convergencia σ0.50

Transformada y ROC

X(s) = 1/(s − 1)   ROC: Re(s) > 1  · ∞

σ está por debajo de la tasa a, así que la señal ponderada e^((a−σ)t) aún crece. La integral diverge y no existe transformada. Esta es la región donde Fourier (σ=0) falla.

Diverge

Añade un factor de convergencia a Fourier

La transformada de Fourier multiplicaba la señal por e^(−jωt) e integraba. La de Laplace multiplica por un exponencial real más, e^(−σt). Combinar ambos factores da e^(−st), donde s = σ + jω es la frecuencia compleja. La parte jω sigue escogiendo la oscilación, pero la parte σ, mediante el cada vez menor e^(−σt), fuerza a la señal a apagarse. Así, una señal que crecía sin límite y hacía diverger la integral de Fourier puede, con σ bastante grande, hacerla converger y tener transformada.

ObservaX(s) = ∫ x(t) e^−st dt

La transformada multiplica por e^−st e integra.

Eliges = ?

La frecuencia compleja es s = σ + jω.

Completae^atu(t): ROC Re(s) ?

e^atu(t) converge para Re(s) > a.

Por tu cuentaσ = 0: s = ? (Fourier)

En σ=0 Laplace es Fourier.

La región de convergencia

La integral de Laplace no converge para todo σ. Para una señal creciente e^(at)u(t) la ponderada es e^((a−σ)t), que decae a 0 solo cuando σ > a, haciendo converger la integral. El rango de σ donde converge es la región de convergencia, la ROC. La transformada de esta señal es X(s) = 1/(s−a) con ROC Re(s) > a. Como la misma fórmula con distinta ROC significa otra señal, una transformada de Laplace solo está completa como el par X(s) y su ROC.

Fourier es un corte de Laplace

s = σ + jω es un punto en un plano. Pon σ a 0 y s = jω, el eje imaginario vertical, y ahí la transformada de Laplace se vuelve exactamente la de Fourier, pero solo cuando ese eje está en la ROC. Así, Fourier es el corte a lo largo del eje imaginario de todo el plano s que Laplace ve. Poder elegir σ libremente es lo que da a Laplace su poder sobre transitorios y estabilidad. La próxima unidad marca polos y ceros en este plano s para leer un sistema.

De vuelta a la primera pantalla

Cuando σ era pequeño la señal ponderada aún crecía y la integral divergía: justo donde Fourier falla. Subir σ más allá de la tasa a hizo decaer e^((a−σ)t) a 0, la integral se asentó en el techo 1/(σ−a) y la transformada de Laplace empezó a existir. Lo que Laplace añade a Fourier es precisamente este σ elegible, un exponencial real que fuerza la convergencia. El rango de σ que crea es la ROC, y una transformada es el par X(s) y su ROC.

La transformada de Laplace X(s) = ∫₀^∞ x(t) e^−st dt usa la frecuencia compleja s = σ + jω. En el factor e^−st = e^−σt e^−jωt, el e^−σt es un factor de convergencia que doma señales crecientes para que hasta las que Fourier no maneja se transformen. El rango de σ donde la integral converge es la región de convergencia (ROC). Para e^atu(t), X(s) = 1/(s−a), ROC: Re(s) > a. En σ=0 (s=jω), si el eje imaginario está en la ROC, Laplace se reduce a Fourier.

Hacia la próxima unidad

Si s es un punto en un plano, entonces los puntos donde X(s) estalla al infinito y donde se hace 0 dicen casi todo el carácter de un sistema. La próxima unidad, el plano s y polos y ceros, marca el polo s = a que anula el denominador de X(s) = 1/(s−a). Un polo a la izquierda del eje imaginario (Re < 0) significa respuesta que decae; a la derecha, que diverge. La condición de estabilidad a < 0 de B4 reaparece como justo esta posición del polo. Leer un sistema desde unos pocos puntos del plano se abre ahí.