SC · Laplace

La transformada de Laplace

La transformada de Laplace multiplica el integrando de la transformada de Fourier por un factor de convergencia e^(−σt), ampliando la frecuencia jω al número complejo s = σ + jω. Comprueba por ti mismo que, como ese σ apaga las señales que crecen, ahora se pueden transformar señales que Fourier no podía manejar.

¿Se apaga la señal ponderada?

En la figura de arriba, la curva discontinua tenue es la señal creciente e^(at) (a = 1), y la curva azul es la señal ponderada, multiplicada por el factor de convergencia e^(−σt). La figura de abajo es la integral acumulada de esa señal ponderada desde 0. Sube σ hasta que la señal que crecía se apague hacia 0 y la integral llegue a un techo y se detenga: en ese momento existe la transformada de Laplace.

señal creciente e^(at)ponderada e^((a−σ)t)

integral acumulada

factor de convergencia σ0.50

Transformada y ROC

X(s) = 1/(s − 1)   ROC: Re(s) > 1  · ∞

σ es menor que la tasa de crecimiento a = 1, así que la señal ponderada e^((a−σ)t) sigue creciendo. La integral diverge, así que la transformada no existe, y aquí es justamente donde también falla Fourier (σ = 0).

Diverge

Multiplicar Fourier por un factor de convergencia

La transformada de Fourier multiplicaba la señal por e^(−jωt) e integraba, y la transformada de Laplace multiplica además por otra capa, la exponencial real e^(−σt). Al combinar los dos factores se obtiene e^(−st), donde s = σ + jω es la frecuencia compleja. La parte jω sigue eligiendo oscilaciones, pero cuando σ > 0, e^(−σt) se hace más pequeña con el tiempo, así que la parte σ obliga a la señal a apagarse. Por eso incluso una señal que crece sin fin, haciendo divergir la integral de Fourier, tiene transformada si σ se hace lo bastante grande para que la integral converja.

ObservaX(s) = ∫ x(t) e^−st dt

La transformada multiplica por e^−st e integra.

Eliges = ?

La frecuencia compleja es s = σ + jω.

Completae^atu(t): ROC Re(s) ?

e^atu(t) converge para Re(s) > a.

Por tu cuentaσ = 0: s = ? (Fourier)

Con σ = 0, Laplace se vuelve Fourier.

La región de convergencia

La integral de Laplace no converge para todo σ. Para la señal creciente e^(at)u(t), la señal ponderada es e^((a−σ)t), así que solo se apaga hacia 0 y la integral converge cuando σ > a, y el rango de σ para el que la integral converge se llama región de convergencia, o ROC. La transformada de esta señal es X(s) = 1/(s − a) con ROC Re(s) > a. La misma fórmula con otra ROC significa otra señal, así que una transformada de Laplace solo es completa como la pareja de X(s) y su ROC.

Fourier es un corte de Laplace

s = σ + jω es un punto de un plano. Si σ vale 0, s = jω es el eje imaginario vertical, y ahí la transformada de Laplace se convierte exactamente en la de Fourier, pero solo cuando ese eje imaginario está dentro de la ROC. Así que Fourier es un corte, la única línea del eje imaginario sacada de todo el plano s que ve Laplace. Poder elegir σ libremente es lo que permite a Laplace tratar la respuesta transitoria y la estabilidad, y la próxima unidad lee los sistemas marcando polos y ceros en este plano s.

De vuelta a la primera pantalla

Cuando σ era pequeño, la señal ponderada seguía creciendo y la integral divergía, y ese es justamente el lugar donde falla la transformada de Fourier. Al subir σ más allá de la tasa de crecimiento a, e^((a−σ)t) se apagó hacia 0 y, al asentarse la integral en el techo 1/(σ − a), empezó a existir la transformada de Laplace. Lo que Laplace añadió a Fourier es justamente este σ elegible, una exponencial real que fuerza la convergencia. El rango de convergencia que crea ese σ es la ROC, y una transformada es la pareja de X(s) y su ROC.

La transformada de Laplace X(s) = ∫₀^∞ x(t) e^−st dt usa la frecuencia compleja s = σ + jω. Del factor e^−st = e^−σt e^−jωt, e^−σt es el factor de convergencia: apaga las señales que crecen, así que también se transforman señales que Fourier no podía manejar. El rango de σ para el que la integral converge es la región de convergencia (ROC), y para e^atu(t), X(s) = 1/(s − a), ROC: Re(s) > a. Con σ = 0 (s = jω) y el eje imaginario dentro de la ROC, Laplace se reduce a Fourier.

Hacia la próxima unidad

Si s es un punto de un plano, los puntos donde la transformada X(s) se vuelve infinita o 0 guardan casi todo el carácter del sistema. En la próxima unidad, el plano s, polos y ceros, se marca en el plano el polo s = a, que hace 0 el denominador de X(s) = 1/(s − a). Un polo a la izquierda del eje imaginario (Re < 0) significa una respuesta que se apaga, uno a la derecha una respuesta que se dispara, y la condición de estabilidad a < 0 vista en B4 reaparece como justamente esta posición del polo. Ahí empieza la manera de leer un sistema a partir de unos pocos puntos en un plano.