La transformada de Fourier
Estrecha el pulso, ensancha el espectro
La figura de arriba es un pulso rectangular de ancho T, y la de abajo es su transformada de Fourier, un espectro sinc. La curva dorada discontinua es el espectro objetivo: mueve el ancho del pulso T para poner la sinc azul sobre él. Estrechar el pulso en el tiempo ensancha la sinc en la frecuencia, y el objetivo es la forma para T = 1,4.
Alargar el periodo sin fin
Los armónicos de una serie de Fourier están separados ω₀ = 2π/T. Al agrandar el periodo T esta separación se estrecha, y al alargar T sin fin, hasta que la señal ocurre una sola vez y se vuelve aperiódica, la separación se desvanece hasta 0. Las líneas separadas se juntan entonces en un espectro continuo sin huecos X(ω), y este límite, en el que la suma discreta Σ se convierte en la integral ∫, es la transformada de Fourier.
Más estrecho, más ancho
La transformada de un pulso rectangular es la función sinc. Para un pulso de ancho T, el primer cero de la sinc está en ω = 2π/T, así que cuanto más estrecho el pulso (cuanto menor T), más lejos el cero y más ancho el lóbulo principal. Es porque una señal más corta necesita más frecuencias juntas para producir su cambio rápido. El ancho en el tiempo y el ancho en la frecuencia son inversos con un producto aproximadamente constante, y este es el principio de incertidumbre de las señales. La figura ajusta la cima a 1 para comparar solo los anchos, pero la cima real de la transformada es igual al área del pulso, T.
Transformada e inversa
El análisis mide cuánto de cada frecuencia contiene una señal en el tiempo, X(ω) = ∫ x(t) e^(−jωt) dt, y la síntesis vuelve a reunir esas componentes de frecuencia en una señal en el tiempo, x(t) = (1/2π) ∫ X(ω) e^(+jωt) dω. Salvo por el signo del exponente, las dos forman una pareja completa, así que se puede empezar en cualquiera de los dominios y cruzar al otro. La próxima unidad reúne las reglas que obedece esta transformada en una caja de herramientas de cálculo.
De vuelta a la primera pantalla
Ensanchar el pulso estrechaba la sinc y estrecharlo la ensanchaba, mientras el producto de los dos anchos se mantenía más o menos igual. Es porque tiempo y frecuencia están atados como inversos, y el primer cero estaba siempre en ω = 2π/T. Una señal aperiódica que ocurre una sola vez no tiene unos pocos armónicos, sino un espectro continuo que se extiende por todas las frecuencias. Leer y escribir ese espectro continuo con integrales es la transformada de Fourier, el límite de una serie de Fourier cuyo periodo se alarga sin fin.
Calcular la transformada por integración cada vez resulta tedioso. La próxima unidad, propiedades de la transformada, reúne las reglas que obedece: la linealidad, el efecto de un desplazamiento temporal sobre la fase, el efecto inverso del escalado temporal sobre el escalado en frecuencia y, sobre todo, la propiedad de que la convolución en el dominio del tiempo se convierte en multiplicación en el dominio de la frecuencia. Esa sola propiedad reduce a una multiplicación el cálculo de la salida de un sistema LTI, y es donde la convolución del capítulo B se encuentra con la frecuencia del capítulo C.