La transformada de Fourier
Estrecha el pulso, ensancha el espectro
Arriba un pulso rectangular; abajo su transformada de Fourier, un espectro sinc. La curva discontinua es el espectro objetivo. Mueve el ancho T para superponer el sinc azul al objetivo. Fíjate: estrechar en el tiempo lo ensancha en frecuencia.
Estira el periodo al infinito
Los armónicos de una serie de Fourier están separados ω₀ = 2π/T. Aumenta el periodo T y ese espaciado se estrecha; estíralo al infinito (la señal ocurre una sola vez, aperiódica) y el espaciado se desvanece a 0. Entonces las líneas separadas se funden en un espectro continuo X(ω) sin huecos. Este límite, donde la suma discreta Σ se vuelve integral ∫, es la transformada de Fourier.
Más estrecho, más ancho
La transformada de un pulso rectangular es una función sinc. Si el ancho es T, el primer cero del sinc cae en ω = 2π/T. Así, cuanto más estrecho el pulso (T menor), más lejos el cero y más ancho el lóbulo principal, porque una señal más corta necesita reunir más frecuencias para hacer su cambio rápido. El ancho en tiempo y en frecuencia son recíprocos cuyo producto es casi constante: el principio de incertidumbre para señales.
Transformada e inversa
El análisis mide cuánto de cada frecuencia hay en una señal temporal: X(ω) = ∫ x(t) e^(−jωt) dt. La síntesis reúne esas componentes de frecuencia en una señal temporal: x(t) = (1/2π) ∫ X(ω) e^(+jωt) dω. Difiriendo solo en el signo del exponente, ambas son un par completo, así que puedes empezar en cualquier dominio y cruzar al otro. La próxima unidad reúne las reglas que cumple esta transformada en un cálculo práctico.
De vuelta a la primera pantalla
Ensanchar el pulso estrechó el sinc; estrecharlo lo ensanchó. El producto de los dos anchos quedó casi igual, porque tiempo y frecuencia se atan como recíprocos. El primer cero siempre estuvo en ω = 2π/T. Una señal que ocurre una sola vez, aperiódica, no tiene unos pocos armónicos sino un espectro continuo en todas las frecuencias. Leer y escribir ese espectro continuo por integral es la transformada de Fourier, el límite de periodo infinito de la serie de Fourier.
Calcular la transformada por integral cada vez es laborioso. La próxima unidad, propiedades de la transformada de Fourier, reúne las reglas que cumple: linealidad, cómo un desplazamiento temporal actúa sobre la fase, el efecto recíproco del escalado temporal en el de frecuencia y, sobre todo, que la convolución en el tiempo se vuelve multiplicación en frecuencia. Con esta sola propiedad, calcular la salida de un sistema LTI se simplifica a una multiplicación. La convolución del capítulo B y la frecuencia del C se encuentran aquí.