Propiedades de un sistema
¿Cuándo coinciden los dos caminos?
Las dos jorobas tenues son las entradas de prueba x₁ y x₂, y el sistema es S{u} = u + εu². Compara el resultado de sumar primero las dos entradas y pasarlas una vez (dorado) con el de pasarlas por separado y sumar después (azul discontinuo): cuando ε es grande, los dos se separan en el centro, donde las entradas se solapan. Baja la no linealidad ε y comprueba cuándo los dos caminos quedan exactamente uno encima del otro.
La linealidad es la superposición
Un sistema lineal cumple dos reglas. Si la entrada se multiplica por a, la salida también (homogeneidad); si entra la suma de dos entradas, la salida es la suma de las dos salidas (aditividad). Juntas en una sola línea quedan S{a·x₁ + b·x₂} = a·S{x₁} + b·S{x₂}, así que si cualquier entrada se escribe como suma de piezas, la salida es la misma combinación de sus salidas. Cuando se cuela un término u², como en el sistema de la figura, aparece un término cruzado, y la diferencia entre los dos caminos es exactamente S{x₁ + x₂} − S{x₁} − S{x₂} = 2εx₁x₂. Por eso los caminos solo se separan donde las dos entradas son grandes a la vez.
Invariancia temporal: retardo dentro, retardo fuera
Un sistema invariante en el tiempo se comporta igual en todo momento. Así que retrasar la entrada t₀ solo retrasa la salida t₀ sin cambiar su forma; en símbolos, si x(t) → y(t), entonces x(t − t₀) → y(t − t₀). Da la misma respuesta tanto si la entrada llega hoy como mañana. El S{u} = u + εu² de la figura tiene coeficientes que no cambian con el tiempo, así que es invariante sea cual sea ε.
Causalidad y LTI
En un sistema causal la salida depende solo de las entradas presentes y pasadas y no puede ver las futuras; es decir, y(t) queda fijada solo por x(τ) con τ ≤ t, y todo sistema que funciona en tiempo real es causal. El sistema de la figura no tiene memoria y solo mira la entrada actual, así que también es causal, lo que muestra una vez más que las tres propiedades son independientes. Un sistema lineal e invariante en el tiempo se llama LTI; un LTI queda completamente determinado por una sola respuesta al impulso, y su salida sale como la convolución y = x ∗ h. Todo el capítulo siguiente se apoya en este LTI.
De vuelta a la primera pantalla
Solo al bajar la no linealidad ε hasta 0 quedaron los dos caminos exactamente uno encima del otro. Esa coincidencia, el mismo resultado sumando antes o después, es la superposición, es decir, la linealidad. Lineal, invariante en el tiempo y causal son tres preguntas independientes que se le hacen a un sistema: ¿se conserva al sumar y escalar entradas?, ¿una entrada retrasada sale retrasada igual?, ¿evita mirar al futuro? Un sistema lineal e invariante se convierte en un LTI, que se describe por completo con una sola respuesta al impulso.
Cuando un sistema tiene a la vez linealidad e invariancia temporal se convierte en LTI, y de ahí sale la verdadera fuerza de las señales y los sistemas. En el próximo capítulo, sistemas LTI y convolución, un LTI se captura por completo con una sola señal, la respuesta al impulso, y la salida ante cualquier entrada se calcula con la convolución. La superposición que acabas de ver es la llave de ese cálculo, porque la convolución consiste en partir cualquier entrada en una suma de impulsos y volver a sumar por superposición las respuestas al impulso.