Propiedades de un sistema
¿Cuándo coinciden los dos caminos?
Compara pasar la suma de dos entradas por el sistema una vez (oro) frente a pasarlas por separado y sumar después (azul discontinuo). Baja la no linealidad ε y halla cuándo los dos caminos coinciden exactamente.
La linealidad es la superposición
Un sistema lineal cumple dos promesas. Escalar la entrada por a escala la salida por a (homogeneidad), y sumar dos entradas suma sus dos salidas (aditividad). En una línea: S{a·x₁ + b·x₂} = a·S{x₁} + b·S{x₂}. Así, escribas la entrada como sumes de piezas, la salida es la misma combinación de sus salidas. Un término no lineal (p. ej. x²) crea un término cruzado que rompe esta igualdad.
Invariancia temporal: retardo dentro, retardo fuera
Un sistema invariante en el tiempo no cambia su comportamiento con el tiempo. Así, retardar la entrada en t₀ solo retarda la salida ese mismo t₀, sin cambiar su forma. En símbolos, si x(t) → y(t), entonces x(t − t₀) → y(t − t₀). Da la misma respuesta lo alimentes hoy o mañana.
Causalidad y LTI
Un sistema causal tiene una salida que solo depende de entradas presentes y pasadas, nunca del futuro. Es decir, y(t) queda fijada por x(τ) para τ ≤ t. Todo sistema que funciona en tiempo real es causal. Un sistema lineal e invariante en el tiempo se llama LTI, y un LTI queda fijado por completo por una sola respuesta al impulso, con su salida dada por la convolución y = x ∗ h. Todo el próximo capítulo se apoya en este LTI.
De vuelta a la primera pantalla
Solo cuando la no linealidad bajó a 0 los dos caminos coincidieron exactamente. Esa concordancia —sumar primero o al final, mismo resultado— es la superposición, y eso es la linealidad. Lineal, invariante, causal son tres preguntas independientes que le haces a un sistema: ¿se preservan sumas y escalas, un retardo solo retarda la salida, evita mirar el futuro? Lineal e invariante juntas hacen del sistema un LTI, descrito por completo por una sola respuesta al impulso.
Cuando un sistema tiene a la vez linealidad e invariancia temporal se vuelve LTI, y de aquí surge el verdadero poder de señales y sistemas. El próximo capítulo, LTI y convolución, captura un LTI por completo con una sola señal —su respuesta al impulso— y calcula la salida para cualquier entrada por convolución. La superposición que acabas de ver es justo la clave que lo hace posible: la convolución parte cualquier entrada en suma de impulsos y suma sus respuestas al impulso por superposición.