La DTFT y la DFT
En un bin, un pico; fuera, fuga
Arriba hay un coseno discreto de longitud N=16, x[n] = cos(ω₀n). Abajo, la curva dorada es su magnitud DTFT, el espectro verdadero barrido continuamente sobre ω, y los tallos azules son esa curva muestreada en los N bins de la DFT, ω = 2πk/N. La línea discontinua es la frecuencia verdadera ω₀ de la señal. Mueve el deslizador ω₀ para que ω₀ caiga exactamente sobre un bin azul, creando un pico limpio donde solo ese bin sube y el resto cae a 0. Cae entre bins y la energía se filtra a los vecinos.
El espectro visto en el círculo unitario
La DTFT de una señal discreta x[n] es X(e^(jω)) = Σₙ x[n] e^(−jωn). Es exactamente la transformada z de E3, X(z) = Σ x[n] z⁻ⁿ, con z puesto en z = e^(jω) sobre el círculo unitario. Así que la DTFT es el espectro visto en una vuelta al círculo unitario del plano z, y es la respuesta en frecuencia del sistema. Un rasgo destaca: la periodicidad. Como e^(−jωn) se repite con periodo 2π en ω, la DTFT se repite idéntica cada 2π. Es otra cara del hecho de E1 de que el muestreo copia el espectro cada fs. Así que un intervalo de −π a π basta para el espectro de una señal discreta.
La DFT que una computadora calcula
La DTFT es continua en ω, así que tiene infinitos valores. Una computadora no puede calcular el infinito, así que toma valores solo en ω = 2πk/N (k=0..N−1), dividiendo un periodo 2π en N. Esta es la DFT X[k] = Σₙ x[n] e^(−j2πkn/N), que lleva N entradas finitas a N salidas finitas: la curva DTFT muestreada en N bins. Calcular la DFT directamente cuesta N² multiplicaciones, pero la FFT de Cooley–Tukey de 1965 lo redujo a N log N, haciendo práctico todo el procesamiento digital de señales. La convolución en el tiempo se vuelve multiplicación en el dominio DFT, así que hasta un filtro largo corre rápido por la FFT.
Fuga de una frecuencia fuera de bin
Cuando tomas solo N muestras finitas de una señal, ese recorte (la ventana) le da a la DTFT un pico con ancho (un lóbulo principal) y una fila de picos menores al lado (lóbulos laterales). Si la frecuencia ω₀ cae exactamente en un bin 2πk/N, ese bin se sitúa en la cima del lóbulo principal mientras los demás caen justo en los ceros entre lóbulos laterales, dando un pico limpio. Pero si ω₀ cae entre bins, cada bin muestrea un lóbulo lateral y la energía se filtra por muchos bins — fuga espectral. Para reducirla, una función de ventana (Hann, Hamming y otras) que suaviza los extremos al cortar baja los lóbulos laterales, así la fuga disminuye pero el lóbulo principal se ensancha, debilitando la capacidad de distinguir dos frecuencias cercanas. Es un compromiso entre resolución y fuga.
De vuelta a la primera pantalla
Con un solo coseno discreto de longitud N, observaste su espectro. La curva dorada DTFT era el espectro verdadero barrido continuamente sobre ω, y los tallos azules DFT eran esa curva muestreada en N bins. Poner la frecuencia ω₀ exactamente en un bin 2πk/N dio un pico limpio, un bin elevado y el resto en 0. Moverla entre bins mostró la fuga como energía repartida por muchos bins. La DFT es solo un muestreo de la DTFT, y la DTFT es la transformada z vista sobre el círculo unitario. La cadena que empezó en lo básico de las señales, pasando por tiempo, convolución, Fourier, Laplace y muestreo, cierra su vuelta aquí, en el espectro discreto.
Aquí el instrumental para analizar señales y sistemas está completo. Aprendimos a verlas en el tiempo, a transformarlas con Fourier, Laplace y z, y a muestrearlas para manejarlas digitalmente. Ahora, en el capítulo final, la dirección pasa del análisis al diseño. La próxima unidad, la estabilidad y el criterio de Routh, hace de cómo mantener estable un sistema la primera pregunta. Sin resolver los polos, construyes una tabla de Routh solo con los coeficientes de la ecuación característica para decidir si todos los polos están en el semiplano izquierdo. Incluso para sistemas de alto orden cuyos polos son difíciles de resolver, juzgas la estabilidad a mano, y luego diseñas controladores con el lugar de las raíces y los diagramas de Bode.