La DTFT y la DFT
En un bin, un pico; fuera, fuga
La gráfica de arriba es un coseno discreto de longitud N = 16, x[n] = cos(ω₀n). En la gráfica de abajo, la curva dorada es la magnitud de su DTFT, el espectro verdadero recorrido de forma continua en ω de 0 a π, y las barras azules son esa curva muestreada en las casillas de la DFT situadas en ω = 2πk/N. La separación entre casillas es 2π/16 ≈ 0,39 rad, y la línea gris punteada es la frecuencia verdadera de la señal, ω₀. La ω₀ = 0,98 inicial está casi justo a mitad de camino entre las casillas k = 2 y 3, así que la energía se fuga a varias casillas. Pon ω₀ exactamente sobre una casilla azul y solo esa casilla subirá mientras las demás quedan en 0: un único pico limpio.
El espectro visto en el círculo unitario
La DTFT de una señal discreta x[n] es X(e^(jω)) = Σₙ x[n] e^(−jωn). Es exactamente la transformada z de la unidad E3, X(z) = Σ x[n] z⁻ⁿ, con z colocada sobre el círculo unitario, z = e^(jω), así que la DTFT es el espectro que se ve al dar una vuelta al círculo unitario del plano z, y para un sistema es la respuesta en frecuencia. Su rasgo más llamativo es la periodicidad. Como e^(−jωn) tiene periodo 2π en ω, la DTFT se repite igual cada 2π, lo que es otra cara de lo que mostró la unidad E1: 'el muestreo copia el espectro en cada fs'. Por eso basta mirar el espectro de una señal discreta en un intervalo de −π a π, y para una señal real alcanza con la mitad, de 0 a π; la gráfica de la primera pantalla dibuja esa mitad.
La DFT que una computadora calcula
Como ω es continua, la DTFT tiene infinitos valores. Una computadora no puede calcular infinitos, así que solo toma valores en ω = 2πk/N (k = 0, …, N−1), que dividen un periodo 2π en N partes iguales; eso es la DFT, X[k] = Σₙ x[n] e^(−j2πkn/N). Convierte N entradas finitas en N salidas finitas y equivale a muestrear la curva de la DTFT en N casillas. Calcular la DFT al pie de la letra requiere N² multiplicaciones, pero la FFT que Cooley y Tukey publicaron en 1965 lo redujo al orden de N log N y llevó el procesamiento digital de señales al terreno práctico. Como la convolución en el dominio del tiempo se vuelve multiplicación en el dominio de la DFT (rellenando con 0 para que el resultado no se enrolle sobre sí mismo), incluso los filtros largos pueden ejecutarse rápido con la FFT.
Fuga de una frecuencia fuera de bin
Al recortar una señal a N muestras finitas, esa ventana de recorte hace que la DTFT tenga un pico con cierta anchura (el lóbulo principal) y pequeños picos alineados a su lado (los lóbulos laterales). Si la frecuencia de la señal ω₀ cae justo sobre una casilla 2πk/N, esa casilla queda en la cima del lóbulo principal y todas las demás caen exactamente en los ceros entre lóbulos laterales, lo que da un único pico limpio. Pero si ω₀ cae entre casillas, todas las casillas muestrean la ladera del lóbulo principal o un lóbulo lateral, y la fuga espectral reparte la energía en varias casillas. Para reducirla se usa al recortar una función ventana (Hann, Hamming, etc.) que suaviza los dos extremos; así bajan los lóbulos laterales y se reduce la fuga, pero el lóbulo principal se ensancha y disminuye la capacidad de distinguir dos frecuencias cercanas. Se cambia resolución por fuga.
De vuelta a la primera pantalla
En la primera pantalla tomaste un solo coseno discreto de longitud N = 16 y miraste su espectro. La curva dorada de la DTFT era el espectro verdadero recorrido de forma continua en ω, y las barras azules de la DFT eran esa curva muestreada en N casillas. Al poner la frecuencia de la señal ω₀ justo sobre una casilla 2πk/N apareció un único pico limpio, con una sola casilla levantada y el resto en 0; al moverla entre casillas se vio la fuga repartiendo la energía en varias. La DFT no es más que muestras de la DTFT, y la DTFT es la transformada z vista sobre el círculo unitario. La cadena de herramientas de análisis que empezó en lo básico de las señales y pasó por la convolución, Fourier, Laplace y el muestreo cierra aquí su vuelta, en el espectro discreto.
Con esto quedan listas todas las herramientas para analizar señales y sistemas. Aprendiste a mirar en el tiempo, a transformar con Fourier, Laplace y z, y a muestrear para tratar las señales de forma digital. En el último capítulo la dirección cambia del análisis al diseño. La primera pregunta de la siguiente unidad, Estabilidad y el criterio de Routh, es cómo hacer estable un sistema, y en ella se construye la tabla de Routh, que dice si todos los polos están en el semiplano izquierdo solo con los coeficientes de la ecuación característica, sin hallar los polos. Podrás juzgar la estabilidad a mano incluso en sistemas de orden alto cuyos polos son difíciles de resolver, y luego diseñarás controladores con el lugar de las raíces y el diagrama de Bode.