La transformada z
Mueve el polo dentro del círculo para que decaiga
A la izquierda está el plano z, con × marcando un par de polos z = r·e^(±jθ). El disco verde es el interior del círculo unitario estable, y ese círculo es la frontera entre estable e inestable. Abajo está la respuesta discreta x[n] = r^n cos(θn) que crea ese polo, como gráfico de tallos. Con los dos deslizadores mueve el radio r y el ángulo θ del polo, llevándolo dentro del círculo unitario para que la respuesta decaiga a 0. r es la distancia, θ es la velocidad de oscilación.
z⁻¹ es un retardo de un paso
La transformada z empaqueta una señal discreta x[n] como X(z) = Σ x[n] z⁻ⁿ. Igual que la Laplace continua toma e^(st) como base, la discreta toma zⁿ. La propiedad clave es el retardo. Retrasa la señal un paso y x[n−1] ⟷ z⁻¹ X(z), multiplicar una vez por z⁻¹. Así una ecuación en diferencias y[n] = a·y[n−1] + x[n] se vuelve la algebraica Y(z)(1 − a z⁻¹) = X(z), dando la función de transferencia H(z) = Y/X = 1/(1 − a z⁻¹) = z/(z − a). Igual que una ecuación diferencial se volvió álgebra en s, una en diferencias se ha vuelto álgebra en z.
El modo discreto que fija un polo
El polo de H(z) = z/(z − a) es el z = a que anula el denominador. La respuesta natural que crea este polo es aⁿ, una secuencia construida multiplicando por a en cada paso. Si el polo es complejo, a = r·e^(jθ), la respuesta toma la forma rⁿ cos(θn). El radio r es la razón por la que se multiplica la amplitud cada paso, así que r < 1 encoge y r > 1 crece. El ángulo θ es la fase girada por paso, la frecuencia de oscilación. En θ = 0 es crecimiento o decaimiento simple sin oscilación; cuanto más cerca θ de π, más rápida la oscilación, cambiando de signo cada paso. Es la e^(σt)cos(ωt) continua con σ trasladado a r y ω a θ.
El eje imaginario se vuelve el círculo unitario
Un sistema discreto es estable cuando todos sus polos están dentro del círculo unitario (|z| < 1). Si aunque sea un polo está fuera, ese modo rⁿ diverge; sobre el círculo oscila sin apagarse, marginal. Lo que era el semiplano izquierdo para la estabilidad en tiempo continuo se ha vuelto el interior del círculo unitario en tiempo discreto. Ambos se enlazan por z = e^(sT), donde T es el intervalo de muestreo. Mete el eje imaginario s = jω en esto y z = e^(jωT), un círculo unitario de radio 1. El semiplano izquierdo (σ < 0) va a |z| = e^(σT) < 1, dentro del círculo; el derecho va afuera. El muestreo ha enrollado el plano s sobre el círculo unitario. Así, la historia de los polos de D2 se repite en tiempo discreto, con solo la frontera cambiada de una recta a un círculo.
De vuelta a la primera pantalla
Con el radio del polo r por encima de 1, el polo quedaba fuera del círculo unitario, así que la respuesta discreta rⁿ crecía en cada paso y divergía; bajar r por debajo de 1 metió el polo dentro y la respuesta decayó a 0. Pon r exactamente en 1 y oscilaba por siempre del mismo tamaño sobre el círculo. Cuanto mayor el ángulo θ, más giraba por paso y más rápido oscilaba. La distancia r del polo al origen era la tasa de decaimiento, y el ángulo θ la frecuencia de oscilación. La historia del plano s continuo se repitió en tiempo discreto, con solo la frontera de estabilidad cambiada del eje imaginario al círculo unitario.
Ahora puedes manejar señales discretas como álgebra en z y leer la respuesta desde los polos. La próxima unidad, sistemas LTI discretos, usa esta herramienta en sistemas digitales reales. Una ecuación en diferencias y[n] = b·x[n] + a·y[n−1] es un filtro digital que mezcla muestras de entrada con salidas pasadas, y su convolución discreta con la respuesta al impulso produce la salida. La convolución y la respuesta al impulso del tiempo continuo (capítulo B) vuelven en tiempo discreto, con la integral convertida en suma. Los polos y ceros muestran entonces directamente, sobre el círculo unitario, qué frecuencias conserva el filtro digital y cuáles elimina.