La transformada z

Mueve el polo dentro del círculo para que decaiga

La gráfica de arriba es el plano z: las dos × doradas son un par de polos z = r·e^(±jθ), y la línea punteada del origen al polo es el radio r. El disco sombreado en verde es el interior estable del círculo unitario, y su borde, el círculo unitario, separa lo estable de lo inestable. La gráfica de abajo dibuja con barras, de n = 0 a 22, la respuesta discreta x[n] = rⁿ cos(θn) que producen esos polos. Empiezas con r = 1,12 y θ = 0,9 rad, así que los polos están fuera del círculo y las barras crecen en cada paso hasta salirse de la gráfica. Reduce el radio r para llevar los polos dentro del círculo unitario y la respuesta se apagará hasta 0; cambia el ángulo θ y cambiará lo que gira en cada paso, es decir, la rapidez de la oscilación.

z⁻¹ es un retardo de un paso

La transformada z reúne una señal discreta x[n] en X(z) = Σ x[n] z⁻ⁿ. Así como la transformada de Laplace en tiempo continuo usa e^(st) como base, el tiempo discreto usa zⁿ. La propiedad más importante es el retardo. Retrasar una señal un paso da x[n−1] ⟷ z⁻¹X(z), es decir, multiplicar una vez por z⁻¹. Por eso la ecuación en diferencias y[n] = a·y[n−1] + x[n] se convierte en la ecuación algebraica en z Y(z)(1 − a z⁻¹) = X(z), y la función de transferencia resulta H(z) = Y/X = 1/(1 − a z⁻¹) = z/(z − a). Así como las ecuaciones diferenciales se volvieron álgebra en s, las ecuaciones en diferencias se vuelven álgebra en z.

El modo discreto que fija un polo

El polo de H(z) = z/(z − a) es z = a, que anula el denominador, es decir, lo hace 0. La respuesta natural que produce este polo es aⁿ, una secuencia que se multiplica por a en cada paso. Cuando el polo es un número complejo a = r·e^(jθ) emparejado con su conjugado, la respuesta toma la forma rⁿ cos(θn). El radio r es el factor por el que se multiplica la amplitud en cada paso, así que se reduce si r < 1 y crece si r > 1, mientras que el ángulo θ es la fase que gira en cada paso y fija la rapidez de la oscilación. Con θ = 0 la respuesta simplemente se reduce o crece sin oscilar, y cuanto más se acerca θ a π, más se parece a la oscilación más rápida posible, que cambia de signo en cada paso. En efecto, la σ de e^(σt)cos(ωt) en tiempo continuo pasó a r = e^(σT), y la ω a θ = ωT.

El eje imaginario se vuelve el círculo unitario

Un sistema discreto es estable cuando todos sus polos están dentro del círculo unitario (|z| < 1). Si aunque sea un polo está fuera del círculo, su modo rⁿ diverge; sobre el círculo, queda en un estado marginal que oscila sin apagarse. Lo que en tiempo continuo era el semiplano izquierdo estable se convirtió en tiempo discreto en el interior del círculo unitario. Ambos se enlazan mediante z = e^(sT) (T es el intervalo de muestreo): si pones el eje imaginario del plano s, s = jω, en esta ecuación, obtienes z = e^(jωT), el círculo unitario de radio 1. El semiplano izquierdo (σ < 0) tiene |z| = e^(σT) < 1 y pasa al interior del círculo, mientras que el semiplano derecho pasa al exterior. El muestreo enrolló el plano s y lo pegó al círculo unitario, y por eso la historia de los polos de la unidad D2 se repite en tiempo discreto, con solo el límite cambiado de una recta a un círculo.

De vuelta a la primera pantalla

En la primera pantalla, con el radio del polo r mayor que 1 los polos estaban fuera del círculo unitario, así que la amplitud de la respuesta discreta rⁿ crecía en cada paso y divergía; al llevar r por debajo de 1, los polos entraron en el círculo y la respuesta se apagó hasta 0. Con r justo en 1 quedaban sobre el círculo y la respuesta siguió oscilando con el mismo tamaño. Cuanto mayor era el ángulo θ, más giraba en cada paso y más rápido oscilaba. La distancia r del origen al polo era la rapidez con que se apagaba la respuesta, y el ángulo θ era la rapidez de la oscilación. La historia del plano s en tiempo continuo se repitió tal cual en tiempo discreto, con solo el límite de la estabilidad cambiado del eje imaginario al círculo unitario.

Ahora puedes tratar las señales discretas como álgebra en z y leer la respuesta en los polos. La siguiente unidad, Sistemas LTI discretos, usa esta herramienta con sistemas digitales reales. La ecuación en diferencias y[n] = b·x[n] + a·y[n−1] es un filtro digital que mezcla las muestras de entrada con salidas pasadas, y la convolución discreta de su respuesta al impulso con la entrada produce la salida. La convolución y la respuesta al impulso del tiempo continuo (capítulo B) reviven tal cual en tiempo discreto, con solo la integral convertida en suma. Si comparas la posición de los polos y los ceros con el círculo unitario, puedes leer enseguida qué frecuencias conserva ese filtro digital y cuáles elimina.