Compensación de adelanto y retardo
Sube el margen de fase con compensación de adelanto
Es el diagrama de Bode del lazo abierto L(s) = 2·C(s)/(s(s + 1)(s + 2)), la misma planta de las unidades F1 ~ F4 con una ganancia de 2. Arriba está la ganancia (dB), abajo la fase (grados); las curvas grises punteadas son antes de compensar (C = 1) y las doradas continuas, después de añadir el compensador de adelanto C(s) = (1 + αTs)/(1 + Ts). Antes de compensar, el margen de fase es de unos 33°, por debajo del objetivo de 45°. Al subir α se abre la distancia entre el cero y el polo y aparece una joroba en la fase, cuya altura máxima es φ_max = asin((α − 1)/(α + 1)). Mueve la frecuencia central ω_m para colocar esa joroba cerca del punto dorado, la frecuencia de cruce donde la ganancia pasa por 0 dB, y la fase se elevará justo ahí, agrandando el margen de fase. Por ejemplo, con α = 4 y ω_m = 1,5 el margen de fase es de unos 53°, y con las dos perillas puedes encontrar ajustes entre 45° ~ 60°.
Un polo, un cero, una fase remodelada
Un compensador de adelanto tiene la forma C(s) = (1 + αTs)/(1 + Ts) con α > 1, con el cero en s = −1/(αT) y el polo en s = −1/T. Como el cero está más cerca del origen que el polo, actúa primero, a frecuencias más bajas, y entre las dos frecuencias de esquina la fase sube a valores positivos. En el diagrama de Bode, la fase intenta subir hacia +90° en el cero hasta que el polo la vuelve a bajar, de modo que la fase alcanza su máximo en ω_m = 1/(T√α), la media geométrica de las dos esquinas. Ese máximo depende solo de la razón de separación α, φ_max = asin((α − 1)/(α + 1)): unos 37° con α = 4 y unos 55° con α = 10. Cuanto mayor es α, más alta es la joroba, pero la ganancia del compensador en esa ω_m también sube en un factor √α, así que la compensación de adelanto es un trato que toma prestada fase a cambio de ganancia en alta frecuencia.
El retardo es la imagen especular
Un compensador de retardo tiene la misma forma pero con α < 1, así que su polo está más cerca del origen que su cero. Esta vez la fase se hunde un poco en negativo y, a cambio, la ganancia baja en un factor α al pasar de baja a alta frecuencia. Dicho al revés, respecto a la alta frecuencia eleva la ganancia en baja frecuencia en un factor 1/α, de modo que se puede subir la ganancia del lazo en 1/α sin cambiar la ganancia cerca de la frecuencia de cruce, y la mayor ganancia de continua reduce el error en estado estacionario visto en la unidad F5. El costo del hundimiento de fase se evita colocando las dos esquinas muy por debajo de la frecuencia de cruce, porque al llegar a esa frecuencia el hundimiento ya volvió casi a 0 y apenas toca el margen de fase. Si el adelanto añade fase y rapidez como el término derivativo, el retardo añade ganancia en baja frecuencia y reduce el error como el término integral, y usar ambos juntos es la compensación de adelanto-retardo.
Compensadores hechos de circuitos, y sus límites
El atractivo de un compensador es que basta un polo y un cero, así que se convierte directamente en un circuito con un amplificador operacional y unos pocos resistores y condensadores. El compensador de adelanto se parece a un derivador, pero gracias a su polo la ganancia en alta frecuencia deja de subir en α, lo que alivia el problema de una derivada pura que amplifica el ruido sin límite. De hecho, el PID práctico y la compensación de adelanto-retardo son parientes cercanos. El término integral es un polo colocado en el origen (el caso extremo del retardo) y un término derivativo con filtro es un compensador de adelanto, así que ambos hacen el mismo trabajo en lenguajes distintos. Elegir tres ganancias en el dominio del tiempo es sintonizar un PID, y colocar polos y ceros para dar forma al diagrama de Bode en el dominio de la frecuencia es diseñar un compensador. Los límites también son claros: el adelanto eleva la ganancia en alta frecuencia y es vulnerable al ruido y la saturación, y el retardo añade un polo lento que alarga el tiempo de establecimiento. Por eso, el truco del diseño es tomar prestada fase con el adelanto y completar la exactitud con el retardo, usando cada uno solo lo realmente necesario.
De vuelta a la primera pantalla
En la primera pantalla añadiste un compensador de adelanto a un lazo abierto que solo tenía unos 33° de margen de fase. Subir α levantó una joroba en la fase, y llevar la frecuencia central ω_m cerca de la frecuencia de cruce donde la ganancia pasa por 0 dB elevó la fase justo ahí, lejos de −180°, y el margen de fase subió hasta un buen valor. Con solo un polo y un cero, el compensador elevó la fase del diagrama de Bode justo donde querías. Si el adelanto tomó prestada fase para añadir rapidez y estabilidad, el retardo añade ganancia en baja frecuencia para completar la exactitud. El margen de fase que en la unidad F3 solo podías leer, ahora lo creaste tú mismo diseñando un compensador.
Dijimos que el compensador de retardo eleva la ganancia en baja frecuencia para reducir el error en estado estacionario, pero ¿qué determina exactamente ese error? La siguiente unidad, Error de estado estacionario, trata cómo el número de polos que el lazo abierto tiene en el origen, el tipo del sistema (tipo 0, tipo 1, tipo 2), determina el error final ante entradas escalón, rampa y parábola. La constante de error de posición Kp, la de velocidad Kv y la de aceleración Ka fijan cada una ese error, y un solo polo en el origen lleva por completo a 0 el error para un tipo de entrada. Lo que hizo el compensador de retardo al elevar la ganancia de continua y lo que hizo el término integral al añadir un polo en el origen se resumen allí en una sola tabla.