Compensación de adelanto y retardo
Sube el margen de fase con compensación de adelanto
Este es el diagrama de Bode del lazo abierto L(s) = 4·C(s)/(s(s+1)(s+2)), la misma planta que F1 a F4 con ganancia añadida. Arriba está la ganancia (dB), abajo la fase (grados); la curva discontinua es antes de compensar (C=1), la sólida es tras añadir un compensador de adelanto C(s) = (1+αTs)/(1+Ts). Antes de compensar el margen de fase es de unos 11°, muy escaso. Subir α ensancha la separación entre el cero y el polo, así que sube una joroba en la fase, cuya altura máxima es φ_max = asin((α−1)/(α+1)). Mueve la frecuencia central ω_m para colocar esa joroba en la frecuencia de cruce donde la ganancia pasa 0 dB, y justo ahí la fase se eleva y el margen de fase crece. Ajusta los dos mandos para que el margen de fase quede entre 45° y 60°.
Un polo, un cero, una fase remodelada
Un compensador de adelanto tiene la forma C(s) = (1+αTs)/(1+Ts) con α>1, poniendo el cero en s = −1/(αT) y el polo en s = −1/T. El cero está más cerca del origen que el polo y actúa primero, así que entre las dos frecuencias de esquina la fase se eleva positiva. En el Bode la fase intenta subir hacia +90° en el cero antes de que el polo la baje de nuevo, alcanzando su máximo en ω_m = 1/(T√α), la media geométrica de las dos esquinas. Ese máximo depende solo de la relación α: φ_max = asin((α−1)/(α+1)). Cuanto mayor α, más alta la joroba, pero en esa misma ω_m la ganancia del compensador también sube en un factor √α. Así que la compensación de adelanto es un trato: tomas prestada fase y devuelves ganancia de alta frecuencia.
El retardo es la imagen especular
Un compensador de retardo tiene la misma forma pero con α<1, así que el polo está más cerca del origen que el cero. Esta vez la fase se hunde ligeramente negativa, y a cambio la ganancia cae en un factor 1/α al ir de baja a alta frecuencia. Al revés, eso significa que la ganancia en bajas frecuencias se eleva en 1/α respecto a las altas. Así que un compensador de retardo mejora la precisión de estado estacionario: una mayor ganancia de DC reduce el error de estado estacionario que vimos en F5. El coste del hundimiento de fase se evita colocando ambas esquinas muy por debajo de la frecuencia de cruce, donde el hundimiento ya ha vuelto a cero y apenas toca el margen de fase en el cruce. Si el adelanto, como el término derivativo, añade fase y velocidad, el retardo, como el término integral, añade ganancia de baja frecuencia y reduce el error. Usar ambos juntos es la compensación de adelanto-retardo.
Compensadores hechos de circuitos, y sus límites
El atractivo de un compensador es que basta un polo y un cero, así que se convierte directo en un circuito con un amplificador operacional y unas pocas resistencias y condensadores. Un compensador de adelanto se acerca a un derivador, pero su polo limita la ganancia de alta frecuencia, aliviando el problema de que una derivada pura amplifique el ruido sin límite. De hecho, la forma práctica de un PID es justamente la compensación de adelanto-retardo: el término integral es un polo en el origen (el extremo del retardo), y el término derivativo con un filtro es un compensador de adelanto. Así que ambos dicen lo mismo en idiomas distintos. Elegir tres ganancias en el dominio del tiempo es ajustar un PID; colocar polos y ceros en el dominio de la frecuencia para dar forma al Bode es diseñar un compensador. Los límites también son claros. El adelanto sube la ganancia de alta frecuencia y es sensible al ruido y a la saturación; el retardo añade un polo lento y alarga el tiempo de establecimiento. Así que toma prestada fase con el adelanto y completa la precisión con el retardo, usando cada uno solo cuanto haga falta, que es el oficio del diseño.
De vuelta a la primera pantalla
Añadimos un compensador de adelanto a un lazo abierto que tenía solo 11° de margen. Subir α construyó una joroba en la fase, y colocar la frecuencia central ω_m en la frecuencia de cruce donde la ganancia pasa 0 dB elevó la fase lejos de −180° justo ahí, así que el margen de fase subió a un valor sano. Con solo un polo y un cero el compensador levantó la fase del diagrama de Bode exactamente donde queríamos. Donde el adelanto tomó prestada fase para añadir velocidad y estabilidad, el retardo añade ganancia de baja frecuencia para completar la precisión. El margen de fase que en F3 solo leíamos, ahora lo hemos hecho nosotros mismos diseñando un compensador.
Dijimos que un compensador de retardo reduce el error de estado estacionario subiendo la ganancia de baja frecuencia, pero ¿qué fija exactamente ese error? La próxima unidad, error de estado estacionario, muestra cómo el número de polos que el lazo abierto tiene en el origen, el tipo de sistema (tipo 0, 1, 2), decide el error final ante una entrada escalón, rampa y parábola. La constante de error de posición Kp, la de velocidad Kv y la de aceleración Ka aparecen cada una como el recíproco de ese error, y un solo polo en el origen lleva el error ante un tipo de entrada hasta cero. Lo que el compensador de retardo hizo subiendo la ganancia de DC, y lo que el término integral hizo añadiendo un polo en el origen, se organizan aquí en una sola tabla.