Diagramas de bloques y realimentación
Estabiliza lo inestable con realimentación
El diagrama de arriba es un lazo de realimentación negativa. La entrada X llega al punto de suma (+), y la salida Y, tras pasar por la planta del camino directo H(s) = 1/(s − 1), vuelve por un camino de realimentación de ganancia k y se resta en el punto de suma (−). Esta planta tiene su polo en +1, en el semiplano derecho, así que por sí sola diverge. La gráfica de abajo es la respuesta al impulso en lazo cerrado e^((1 − k)t), y k empieza en 0,4. Sube la ganancia k para llevar el polo de lazo cerrado s = 1 − k a la izquierda del eje imaginario y verás cómo la respuesta que crecía se apaga hasta 0.
El álgebra de conectar cajas
Un diagrama de bloques dibuja cada sistema como una caja con su función de transferencia y une las cajas con flechas en el sentido en que fluye la señal. Si conectas dos sistemas en serie, la salida del primero es la entrada del segundo, así que la función de transferencia total es el producto de ambas, H₁H₂. En paralelo, donde la misma entrada se reparte entre dos sistemas y sus salidas se suman, el total es la suma H₁ + H₂. Por enredado que sea el flujo de señales, aplicando estas reglas de multiplicar y sumar paso a paso se reduce a una sola función de transferencia.
La realimentación cierra un lazo
La realimentación es una estructura que devuelve la salida y la resta de la entrada. La señal que entra al camino directo H es la entrada original X menos la salida que pasó por el camino de realimentación G, GY, así que Y = H(X − GY). Al reordenar queda Y(1 + HG) = HX, es decir, la función de transferencia en lazo cerrado T = Y/X = H/(1 + HG). El término 1 + HG del denominador es la parte que crea la realimentación. Con realimentación negativa, la señal que entra al camino directo disminuye cuando la salida se pasa y aumenta cuando se queda corta, así que la salida se ajusta sola para seguir el objetivo. En el diagrama de la primera pantalla, el camino de realimentación G es la constante k.
La realimentación mueve los polos
Los polos de lazo cerrado son las raíces del denominador, 1 + HG = 0. Esta ecuación es distinta de la que fijaba los polos del lazo abierto H, así que al cerrar la realimentación los polos se mueven a lugares nuevos. Si aplicas realimentación negativa de ganancia k a la planta inestable de la primera pantalla, H = 1/(s − 1), el lazo cerrado queda 1/(s − 1 + k) y el polo se mueve a s = 1 − k. Por eso, al hacer k mayor que 1 el polo pasa al semiplano izquierdo y el sistema se vuelve estable. Ubicar los polos con la ganancia de esta forma es el núcleo del control, y seguir el camino que trazan los polos al cambiar la ganancia es el lugar de las raíces, que veremos más adelante.
De vuelta a la primera pantalla
La planta H = 1/(s − 1) tenía su polo en el semiplano derecho, así que por sí sola divergía. Al cerrar el lazo de realimentación y subir la ganancia k, el polo de lazo cerrado s = 1 − k cruzó el eje imaginario hacia el semiplano izquierdo y la respuesta que crecía se apagó hasta 0. La realimentación no se limitó a añadir otra caja: cambió el denominador a 1 + HG y movió el polo a un lugar nuevo. Usar una sola ganancia para ubicar los polos y convertir la inestabilidad en estabilidad es el núcleo del control por realimentación.
Si la realimentación puede poner los polos donde quieras, para terminar un diseño hace falta saber con exactitud qué respuesta produce cada posición de los polos. La siguiente unidad estudia las respuestas de los sistemas estándar de primer y segundo orden. Un sistema de primer orden es un decaimiento simple fijado por una sola constante de tiempo τ, mientras que en uno de segundo orden la razón de amortiguamiento ζ y la frecuencia natural ωn fijan la respuesta transitoria, de modo que especificaciones prácticas como el sobreimpulso y el tiempo de establecimiento se leen directamente de la posición de los polos. Allí queda claro qué respuesta producirán los polos que moviste con la realimentación.