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SC · LTI y convolución

Calcular la convolución

Para hallar una convolución a mano, se divide el tiempo en tramos en los puntos de quiebre donde cambia el solapamiento y se integra el producto por separado en cada tramo. Comprueba tramo a tramo cómo la convolución de dos pulsos rectangulares de ancho 1 se convierte en un triángulo.

Cuando cambia el intervalo, cambia la fórmula

La figura de arriba muestra el pulso de entrada fijo (dorado), el pulso volteado y deslizado (azul) y el área verde donde se solapan, y las dos líneas verdes discontinuas marcan los dos extremos del intervalo de integración. La figura de abajo es el triángulo que resulta de reunir esa área. Al mover la posición de deslizamiento t cambian el tramo actual y su fórmula, y la fórmula cambia en los puntos de quiebre t = 0, 1, 2.

pulso de entradapulso volteado
salida y(t) = triángulo
posición t-0.40
t < 0
y = 0
0 ≤ t ≤ 1
y = t
1 ≤ t ≤ 2
y = 2 − t
t > 2
y = 0
Intervalo activo y fórmula
t < 0 y = 0 = 0.00
Los dos pulsos no se solapan, así que el intervalo de integración está vacío e y(t) = 0. Es la zona exterior, donde t < 0 o t > 2.
Sin solape

Los puntos de quiebre dividen los intervalos

Un punto de quiebre es el instante en que uno de los dos bordes del pulso deslizado pasa por uno de los dos bordes del pulso fijo. En este ejemplo el solapamiento empieza en t = 0, es completo en t = 1 y termina en t = 2. Entre puntos de quiebre, los extremos del intervalo de integración son max(0, t − 1) y min(1, t), y las dos líneas verdes discontinuas de la figura son justamente esos dos extremos.

Integra en cada intervalo

Los dos pulsos tienen altura 1, así que su producto vale 1 en el solapamiento y la integral es simplemente la longitud del solapamiento. Para 0 ≤ t ≤ 1 esa longitud es t, así que la salida sube como y = t; para 1 ≤ t ≤ 2 la longitud es 2 − t, así que baja como y = 2 − t. Las dos rectas se encuentran en t = 1 y forman una cima de altura 1.

Observay(t) = ∫ x(τ) h(t − τ) dτ
La longitud del solapamiento se mide con la integral.
Elige1 ≤ t ≤ 2: y = ?
En el segundo tramo la longitud se reduce a 2 − t.
Completay(1) = ?
La cima está en t = 1, donde el solapamiento es completo.
Por tu cuentaancho = 1 + 1 = ?
El ancho de la salida es la suma de los anchos de entrada.

Las piezas se unen, las duraciones se suman

Las fórmulas de tramos vecinos toman el mismo valor en cada punto de quiebre, así que se unen sin cortes. La convolución de señales de tamaño acotado, como estos dos pulsos rectangulares, es siempre así una función continua. El ancho de la salida es la suma de los anchos de las dos entradas, aquí 1 + 1 = 2. Si los dos pulsos tuvieran anchos distintos, en lugar de un triángulo aparecería un trapecio de lado superior plano, pero el procedimiento de dividir en tramos e integrar sería exactamente el mismo.

De vuelta a la primera pantalla

Cada uno de los tres tramos rectos del triángulo salió de la integral sobre un intervalo. El tramo que sube es y = t en 0 ≤ t ≤ 1, el que baja es y = 2 − t en 1 ≤ t ≤ 2, y el 0 de ambos extremos es la zona exterior sin solapamiento. Las esquinas del triángulo quedaron exactamente en los puntos de quiebre t = 0, 1, 2 porque en cada uno de esos instantes un borde del pulso que se desliza pasaba por un borde del pulso fijo. Calcular una convolución consiste, al final, en hallar estos puntos de quiebre, dividir en tramos e integrar cada tramo.

Para calcular a mano una convolución, se hallan los puntos de quiebre donde cambia la zona de solapamiento, es decir, los t en que un borde que se desliza pasa por un borde fijo, se divide el eje del tiempo en tramos y se integra el producto en cada tramo con los límites adecuados. El resultado es una función continua con una fórmula distinta en cada tramo. Pulso rectangular ∗ pulso rectangular = triángulo, el ancho de la salida es la suma de los dos anchos de entrada, y con anchos distintos sale un trapecio.
Hacia la próxima unidad

Ya puedes manejar la convolución tanto como imagen como con fórmulas. En la próxima unidad, propiedades de los sistemas LTI, se leen las propiedades de un sistema solo a partir de la forma de su respuesta al impulso h. Si h vale 0 para t < 0, el sistema es causal, y si la integral de |h| es finita, es estable. Los sistemas unidos en serie y en paralelo se funden en una sola h gracias a las leyes asociativa y distributiva de la convolución, y la integración por tramos que acabas de aprender es la herramienta para hallar esa respuesta conjunta.