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Mis palabras
SC · LTI y convolución

Calcular la convolución

Para calcular una convolución a mano, divide el tiempo en intervalos en los puntos donde cambia el solape, e integra el producto en cada intervalo. Ve pieza por pieza cómo la convolución de dos pulsos rectangulares se vuelve un triángulo.

Cuando cambia el intervalo, cambia la fórmula

Arriba está la entrada fija, el pulso volteado que se desliza y el área verde de su producto. Abajo, el triángulo resultante. Mueve la posición t y cambian el intervalo activo y su fórmula cerrada. Observa cómo la fórmula cambia en los puntos t = 0, 1, 2.

pulso de entradapulso volteado
salida y(t) = triángulo
posición t-0.40
t < 0
y = 0
0 ≤ t ≤ 1
y = t
1 ≤ t ≤ 2
y = 2 − t
t > 2
y = 0
Intervalo activo y fórmula
t < 0 y = 0 = 0.00
Los dos pulsos no se solapan. El intervalo de integración está vacío, así que y(t) = 0. Es un intervalo exterior, t < 0 o t > 2.
Sin solape

Los puntos de quiebre dividen los intervalos

Un punto de quiebre es el instante en que un borde del pulso volteado y deslizado cruza un borde del pulso fijo. Aquí el solape empieza en t = 0, es total en t = 1 y termina en t = 2. Entre quiebres, los límites de integración los fijan suavemente max(0, t−1) y min(1, t).

Integra en cada intervalo

Ambos pulsos tienen altura 1, así que su producto es 1 en el solape. La integral es entonces la longitud del solape. En 0 ≤ t ≤ 1 la longitud es t, así que y = t sube; en 1 ≤ t ≤ 2 la longitud es 2−t, así que y = 2−t baja. Las dos rectas se encuentran en t = 1 formando un pico de altura 1.

Observay(t) = ∫ x(τ) h(t − τ) dτ
La integral mide la longitud del solape.
Elige1 ≤ t ≤ 2: y = ?
En el segundo intervalo la longitud baja a 2−t.
Completay(1) = ?
El solape total en t=1 es el pico.
Por tu cuentawidth = 1 + 1 = ?
La duración de salida es la suma de las de entrada.

Las piezas se unen, las duraciones se suman

Las fórmulas de cada intervalo coinciden en valor en los quiebres, así que se unen sin corte: la convolución es siempre continua. La duración de la salida es la suma de las dos duraciones de entrada; aquí 1 + 1 = 2. Si los pulsos tuvieran anchos distintos, el resultado sería un trapecio de techo plano en vez de un triángulo, pero el procedimiento de dividir e integrar es el mismo.

De vuelta a la primera pantalla

Las tres piezas rectas del triángulo vinieron cada una de la integral de un intervalo. La pieza que sube es y = t en 0 ≤ t ≤ 1, la que baja es y = 2−t en 1 ≤ t ≤ 2, y los ceros de ambos extremos son los intervalos exteriores sin solape. Las esquinas del triángulo se sitúan justo en los quiebres t = 0, 1, 2, porque en cada uno de esos t un borde deslizante cruzó un borde fijo. Calcular una convolución es, al final, hallar estos quiebres, dividir los intervalos e integrar cada uno.

Para calcular una convolución a mano, halla los puntos de quiebre donde cambia la región de solape (un borde deslizante cruza uno fijo), divide el eje temporal en intervalos e integra el producto con los límites correctos en cada uno. El resultado es una función continua definida a trozos. Rectángulo ∗ rectángulo = triángulo, y la duración de salida es la suma de las de entrada. Anchos distintos dan un trapecio.
Hacia la próxima unidad

Ahora puedes manejar la convolución como imagen y como fórmula. La próxima unidad, propiedades de los sistemas LTI, lee las propiedades de un sistema directamente de la forma de su respuesta al impulso h. Si h es 0 para t < 0 el sistema es causal; si h integra a un valor finito es estable. Los sistemas en serie o paralelo se fusionan en un solo h por las leyes asociativa y distributiva de la convolución, y la integración intervalo a intervalo que acabas de aprender es la herramienta para hallar esa respuesta combinada.