El plano s, polos y ceros

Mueve el polo, cambia la respuesta

A la izquierda está el plano s, con × marcando un par de polos s=σ±jω. La región verde es el semiplano izquierdo estable; la línea vertical central es el eje imaginario. Abajo está la respuesta natural e^(σt)cos(ωt) de ese polo. Con los dos deslizadores lleva el polo al semiplano izquierdo, donde la respuesta decae a 0.

Polos son infinito, ceros son cero

Una función de transferencia se escribe como un cociente H(s) = N(s)/D(s). En los valores de s que anulan el denominador D(s), H se dispara al infinito; son los polos, marcados × en el plano. En los que anulan el numerador N(s), H se hace 0; son los ceros, marcados ○. La forma de la respuesta natural la fijan casi por completo los polos, mientras los ceros añaden peso a esa forma.

La real es decaimiento, la imaginaria oscilación

La respuesta natural que crea un polo s = σ + jω tiene la forma e^(σt)cos(ωt). La parte real σ es la tasa de decaimiento del exponencial e^(σt): si σ es negativa la respuesta decae, y cuanto más negativa, más rápido. La parte imaginaria ω es la frecuencia angular del coseno: cuanto más lejos del eje real, más rápido oscila. Así, la posición horizontal del polo muestra cuán rápido se apaga, la vertical cuán rápido tiembla. Un polo real (ω=0) es decaimiento simple sin oscilación.

Semiplano izquierdo significa estable

Si todos los polos de un sistema están en el semiplano izquierdo —parte real negativa—, todos los modos de respuesta natural decaen y el sistema es BIBO estable. Si aunque sea un polo está en el semiplano derecho, ese modo diverge y el sistema es inestable; sobre el eje imaginario oscila sin apagarse, marginalmente estable. Esto generaliza la condición a < 0 de B4 a una sola posición en el plano s, incluidos polos complejos. La estabilidad la deciden los polos; los ceros no pueden cambiarla.

De vuelta a la primera pantalla

Arrastrar el polo a la izquierda del eje imaginario hizo decaer la respuesta a 0 (estable); empujarlo a la derecha hizo crecer la amplitud y diverger (inestable); ponerlo sobre el eje la hizo oscilar por siempre al mismo tamaño (marginal). Cuanto más arriba o abajo del eje real, más rápido oscilaba. La posición horizontal del polo (parte real) era la tasa de decaimiento, la vertical (parte imaginaria) la frecuencia. Todo el comportamiento de un sistema estaba escrito en la posición de un punto del plano s.

Si polos y ceros dibujan el sistema, entonces la función H(s) que los une es su carné de identidad completo. La próxima unidad, la función de transferencia, transforma por Laplace la ecuación diferencial del sistema para construir H(s) = salida/entrada, y multiplica ese H(s) por la transformada de la entrada para obtener la salida. Que la convolución en el tiempo se vuelva multiplicación en el dominio s es justo lo de C4. Polos y ceros son solo las raíces factorizadas del denominador y numerador de ese H(s).