El plano s, polos y ceros

Mueve el polo, cambia la respuesta

La gráfica de arriba es el plano s, y las dos × doradas son un par de polos conjugados s = σ ± jω. El lado izquierdo, sombreado en verde, es el semiplano izquierdo estable; el derecho, sombreado en rojo, es el semiplano derecho, y la línea vertical que los separa es el eje imaginario. La gráfica de abajo dibuja la respuesta natural e^(σt)cos(ωt) que producen esos polos, desde t = 0 hasta 6. Empiezas con σ = 0,4, así que los polos están en el semiplano derecho y la respuesta oscila y se sale de la gráfica. Con los dos deslizadores lleva los polos al semiplano izquierdo y verás cómo la respuesta se apaga hasta 0.

Infinito en un polo, 0 en un cero

Una función de transferencia se escribe como un cociente de dos polinomios, H(s) = N(s)/D(s). En un s donde el denominador D(s) vale 0, H se dispara al infinito; ese punto se llama polo y se marca con × en el plano. En un s donde el numerador N(s) vale 0, H vale 0; ese punto es un cero y se marca con ○. Los polos deciden qué modos (piezas de la forma e^(σt)cos(ωt)) aparecen en la respuesta natural, y los ceros cambian cuánto de cada modo entra en la mezcla, es decir, los pesos. La gráfica de arriba muestra solo un par de polos y no dibuja ceros.

La real es decaimiento, la imaginaria oscilación

Un solo polo s = σ + jω produce una respuesta natural de la forma e^(σt)cos(ωt). La parte real σ es la tasa de decaimiento del exponencial e^(σt): si σ es negativa la respuesta se apaga, y cuanto más negativa, más rápido. La parte imaginaria ω es la frecuencia angular del coseno, así que cuanto más se aleja el polo del eje real hacia arriba o hacia abajo, más rápida es la oscilación. Por eso, al leer la posición horizontal del polo en el plano sabes enseguida cuán rápido se desvanece la respuesta, y al leer la vertical, cuán rápido oscila. Si bajas el deslizador de ω hasta 0, las dos × se juntan sobre el eje real y la respuesta simplemente se apaga o crece, sin oscilar.

Semiplano izquierdo significa estable

Si todos los polos de un sistema están a la izquierda del eje imaginario, en el semiplano izquierdo donde la parte real es negativa, todos los modos de la respuesta natural se apagan y el sistema es BIBO estable. Si aunque sea un polo está en el semiplano derecho, ese modo diverge y el sistema es inestable. Un polo sobre el eje imaginario deja una oscilación que nunca se apaga, lo que se llama estabilidad marginal, pero una entrada acotada de la misma frecuencia entra en resonancia con él y hace crecer la salida sin límite, así que no cuenta como BIBO estable. Este criterio toma la condición de estabilidad a < 0 de B4, la extiende a polos complejos y la resume en una sola posición del plano s. La estabilidad la deciden los polos; los ceros solo cambian la forma de la respuesta y no pueden cambiar la estabilidad.

De vuelta a la primera pantalla

En la primera pantalla, al arrastrar los polos a la izquierda del eje imaginario la respuesta se apagó hasta 0 (estable); al empujarlos a la derecha la amplitud creció hasta salirse de la gráfica (inestable), y al ponerlos sobre el eje la respuesta siguió oscilando con el mismo tamaño (marginal). Al subir ω y alejar los polos del eje real hacia arriba y hacia abajo, la oscilación también se hizo más rápida. La parte real, la posición horizontal del polo, era la tasa de decaimiento, y la parte imaginaria, su posición vertical, era la frecuencia angular de la oscilación. Cómo se movería el sistema ya estaba escrito en la posición de un punto del plano s.

Si los polos y los ceros fijan casi todas las propiedades de un sistema, la función H(s) que los reúne a ambos funciona como su documento de identidad. En la siguiente unidad, La función de transferencia, aplicas la transformada de Laplace a la ecuación diferencial de un sistema para plantear H(s) = salida/entrada, y luego multiplicas la transformada de la entrada por H(s) para obtener la salida. Que la convolución en el tiempo se convierta en multiplicación en el dominio s es justamente la propiedad vista en C4. Los polos y los ceros no son más que las raíces que aparecen al factorizar el denominador y el numerador de ese H(s).