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SC · LTI y convolución

La respuesta al impulso

Basta conocer la respuesta de un sistema LTI a un solo impulso para saberlo todo de él. Comprueba por ti mismo que esa respuesta h(t) es la huella dactilar del sistema, y que al agrandar o mover el impulso la respuesta lo sigue tal cual.

Superpón la salida sobre la respuesta objetivo

La barra roja es el impulso que entra al sistema: su altura es el tamaño a del impulso y el lugar donde se alza es su posición t₀. La salida que produce es la curva azul, que empieza a oscilar en el instante en que llega el impulso y luego se apaga. Mueve el tamaño a y la posición t₀ para poner la salida a·h(t − t₀) exactamente sobre el objetivo dorado discontinuo, y la salida también se volverá dorada.

entrada a·δ(t−t₀)salida a·h(t−t₀)objetivo
amplitud a0.50
posición t₀-0.60
Salida actual
y(t) = 0.50 h(t + 0.60)
El tamaño o la posición de la salida difieren del objetivo. La salida siempre es una copia de la misma forma h, así que solo hay que ajustar dos cosas: el tamaño a y la posición t₀.
Muy lejos

Golpea el sistema con un impulso

Si a un sistema se le introduce una vez un impulso δ(t) de ancho 0 y área 1, la salida que aparece se llama respuesta al impulso h(t). Igual que al golpear una campana una vez sale el tañido propio de esa campana, h(t) es una reacción exclusiva de ese sistema, y por eso se la llama su huella dactilar. La h(t) de esta pantalla es una señal que oscila y se apaga, 1,3e^(−1,1t) sen 2,6t, y vale 0 antes de que llegue el impulso, así que el sistema es causal.

Amplitud y posición siguen igual

Como el sistema es lineal, multiplicar el impulso por a multiplica la respuesta por a, y como es invariante en el tiempo, retrasar el impulso t₀ retrasa la respuesta t₀ sin cambiar su forma. Juntándolo todo, a·δ(t − t₀) → a·h(t − t₀). Así que la salida es siempre una copia de la misma h a la que solo se le cambian el tamaño y la posición.

Observaδ(t) → h(t)
Un impulso da la respuesta al impulso.
Eligea δ(t) → ?
La amplitud multiplica la respuesta.
Completaδ(t − t₀) → ?
Impulso retardado, respuesta retardada.
Por tu cuentaa δ(t − t₀) → ?
Aplica amplitud y posición a la vez.

Así, cualquier entrada se predice

Cualquier entrada, cortada en trozos muy finos, puede verse como una fila de impulsos de distintos tamaños, uno en cada instante, y la propiedad de selección garantiza que esa visión es válida. Si el sistema es LTI, cada impulso deja en su propio lugar una copia de h de su propio tamaño, y la salida total es la superposición de todas esas copias. Esa suma es justamente la convolución de la próxima unidad.

De vuelta a la primera pantalla

Los únicos tiradores necesarios para poner la salida sobre la respuesta objetivo eran dos: el tamaño a y la posición t₀. La forma de la salida no se podía tocar, porque esa forma es la huella fija del sistema, h. Agrandar el impulso agranda la respuesta y moverlo la mueve, pero la forma siempre es h. Conociendo esta única h se sabe todo lo que hará el sistema LTI, y lo siguiente es la convolución, que parte cualquier entrada en impulsos y suma estas respuestas.

La respuesta al impulso h(t) es la salida que produce un sistema LTI cuando entra un impulso δ(t). Gracias a la linealidad y la invariancia temporal, a·δ(t − t₀) → a·h(t − t₀), es decir, la salida es una copia escalada y desplazada de h. Por eso una sola h determina por completo el sistema LTI. La salida ante cualquier entrada es la superposición de las copias de h que dejan los impulsos que forman la entrada, y esto conduce a la convolución.
Hacia la próxima unidad

La respuesta al impulso es una sola señal que contiene todo sobre un sistema LTI. En la próxima unidad, la intuición de la convolución, cualquier entrada se ve como una fila de impulsos, y las copias de h que deja cada impulso se solapan y deslizan y se suman para construir la salida. La copia a·h(t − t₀) que acabas de ver es una pieza de esa suma. La convolución, al final, realiza de forma continua la superposición de esta unidad.