Márgenes de ganancia y fase

Mide la distancia a la inestabilidad con dos márgenes

Es el diagrama de Bode del mismo lazo abierto de las unidades F1 y F2, L(s) = K/(s(s + 1)(s + 2)). Arriba está la ganancia (dB), abajo la fase (grados), y el eje horizontal es la frecuencia en escala logarítmica. En la gráfica de arriba, el punto dorado donde la curva dorada cruza la línea punteada de 0 dB es la frecuencia de cruce de ganancia, y el ángulo que le queda a la curva de fase de abajo hasta la línea punteada de −180° en esa frecuencia, la barra vertical de la gráfica de abajo, es el margen de fase. Donde la fase de abajo cruza −180° está la frecuencia de cruce de fase, fija en ω = √2 para esta planta, y lo que le queda a la curva de ganancia de arriba hasta 0 dB en esa frecuencia, la barra vertical de la gráfica de arriba, es el margen de ganancia. Cada barra es verde si su margen es positivo y roja si es negativo. Con la K = 8 inicial las dos barras están en rojo (margen de fase de unos −7,5°, margen de ganancia de unos −2,5 dB), y al bajar K por debajo de 6 las dos pasan a verde.

El margen que queda antes de la inestabilidad

El umbral en el que la realimentación unitaria se vuelve inestable es cuando el lazo abierto L(jω) vale −1, es decir, el instante en que una magnitud de 1 (0 dB) y una fase de −180° ocurren a la vez en la misma frecuencia. Entonces 1 + L = 0 y los polos en lazo cerrado quedan sobre el eje imaginario. Los márgenes de estabilidad miden, en dos direcciones, cuánto dista el estado actual de esa condición −1. El margen de fase mide cuánto le queda a la fase hasta −180° en la frecuencia donde la magnitud acaba de llegar a 1, y el margen de ganancia mide cuánto le queda a la magnitud hasta 1 en la frecuencia donde la fase acaba de llegar a −180°. Si ambos son positivos, el lazo no alcanzó −1 y es estable; con 0 está en el límite, y si son negativos ya pasó −1 y es inestable (para sistemas como esta planta, cuyo lazo abierto es estable).

Léelos en las dos frecuencias de cruce

En un diagrama de Bode estos dos se leen en frecuencias distintas. La frecuencia donde la curva de ganancia cruza 0 dB se llama frecuencia de cruce de ganancia, y al leer allí la curva de fase y tomar su diferencia con −180° se obtiene margen de fase = 180° + ∠L. A la inversa, la frecuencia donde la curva de fase cruza −180° es la frecuencia de cruce de fase, que para esta planta queda fija en ω = √2, a partir de atan ω + atan(ω/2) = 90°. Al leer la curva de ganancia en esa frecuencia se obtiene margen de ganancia = −20 log|L| dB, y como en este ejemplo la magnitud en el cruce de fase es |L| = K/6, el margen de ganancia es 20 log(6/K) dB. A medida que crece K, toda la curva de ganancia sube, la frecuencia de cruce de ganancia se desplaza a la derecha y, como allí la fase ya bajó más, el margen de fase también se reduce.

Lo que dicen los márgenes

Los márgenes de estabilidad dicen más que estable o inestable: muestran hasta dónde se puede confiar en un sistema real. Lo primero es la robustez. Los modelos siempre son algo inexactos, los valores de los componentes varían y los sensores tienen retardo. El margen de fase es el retardo de fase adicional que el lazo cerrado puede tolerar antes de volverse inestable, y el margen de ganancia es el factor de ganancia adicional que puede tolerar, así que con márgenes estrechos cualquier error pequeño lo derriba. Lo segundo es la forma de la respuesta. En una aproximación de segundo orden, el margen de fase es casi proporcional a la razón de amortiguamiento, de modo que un margen de fase de unos 45° ~ 60° corresponde a una buena respuesta transitoria con razón de amortiguamiento de 0,45 ~ 0,6; de hecho, con la K ≈ 1,04 elegida para ζ = 0,5 en la unidad F2, el margen de fase es de unos 52° y el de ganancia de unos 15 dB. Así que ajustar la ganancia en un diagrama de Bode buscando un margen de fase es la versión en el dominio de la frecuencia de ajustar la razón de amortiguamiento en las unidades D5 y F2.

De vuelta a la primera pantalla

En la primera pantalla leíste la distancia que quedaba hasta la inestabilidad como dos márgenes, en el diagrama de Bode del mismo lazo abierto de las unidades F1 y F2. El ángulo que le quedaba a la fase hasta −180° en la frecuencia donde la curva de ganancia cruza 0 dB era el margen de fase, y lo que le quedaba a la ganancia hasta 0 dB en la frecuencia donde la fase cruza −180° (ω = √2) era el margen de ganancia. Al subir K, la curva de ganancia subió y los dos márgenes se redujeron juntos, hasta llegar ambos a 0 en K = 6, cuando el sistema se volvió inestable. Esta K = 6 es exactamente el mismo límite que el criterio de Routh de la unidad F1 y el cruce del eje imaginario del lugar de las raíces en la unidad F2. El mismo límite del mismo sistema lo vio Routh a través de los coeficientes, el lugar de las raíces a través del camino de los polos y el diagrama de Bode a través de los márgenes de la respuesta en frecuencia.

Los márgenes de estabilidad midieron, sobre el diagrama de Bode, la distancia a la condición −1 en dos direcciones. Pero −1 es un solo punto del plano complejo, así que también se puede dibujar el propio L(jω) en el plano complejo y ver directamente su relación con ese punto. La siguiente unidad, El diagrama de Nyquist, dibuja la curva que traza L(jω) mientras la frecuencia ω recorre de 0 a infinito. El criterio de Nyquist, que cuenta cuántas veces esa curva rodea el punto −1, decide la estabilidad en lazo cerrado sin excepción, incluso cuando el lazo abierto ya es inestable. Los márgenes de fase y de ganancia reaparecen allí como lo cerca que pasa la curva de −1.