Márgenes de ganancia y fase

Mide la distancia a la inestabilidad con dos márgenes

Este es el diagrama de Bode del mismo lazo abierto L(s) = K/(s(s+1)(s+2)) que en F1 y F2. Arriba está la ganancia (dB), abajo la fase (grados), y el eje horizontal es la frecuencia logarítmica. Donde la ganancia cruza la línea de 0 dB en la gráfica superior está la frecuencia de cruce de ganancia, y el ángulo que falta allí hasta la línea de −180° en la inferior es el margen de fase. Donde la fase cruza −180° en la inferior está la frecuencia de cruce de fase (fija en ω=√2 para esta planta), y cuánto está la ganancia por debajo de 0 dB allí arriba es el margen de ganancia. Sube K y la curva de ganancia se eleva, ambos márgenes se encogen juntos, y en K = 6 ambos llegan a cero y el sistema se vuelve inestable.

El margen que queda antes de la inestabilidad

El umbral en que un sistema de realimentación unitaria se vuelve inestable es cuando el lazo abierto L(jω) se hace −1, es decir cuando una magnitud de 1 (0 dB) y una fase de −180° ocurren a la misma frecuencia. Entonces 1 + L = 0 y un polo de lazo cerrado queda en el eje imaginario. Los márgenes de estabilidad miden, en dos direcciones, cuán lejos estás ahora de esta condición −1. El margen de fase es cuánta fase queda hasta −180° en la frecuencia donde la magnitud apenas llega a 1; el margen de ganancia es cuánta magnitud queda hasta 1 en la frecuencia donde la fase apenas llega a −180°. Si ambos son positivos no has tocado −1, así que estable; cero es la frontera; negativo significa que ya pasaste −1, inestable.

Léelos en las dos frecuencias de cruce

El diagrama de Bode te deja leer estos dos en frecuencias distintas. La frecuencia donde la curva de ganancia pasa 0 dB es la frecuencia de cruce de ganancia. Leer la curva de fase allí y tomar la diferencia con −180° da el margen de fase = 180° + ∠L. A la inversa, la frecuencia donde la curva de fase pasa −180° es la frecuencia de cruce de fase (para esta planta, atan ω + atan(ω/2) = 90° da ω = √2, fija). Leer la curva de ganancia allí da el margen de ganancia = −20 log|L| dB. En este ejemplo la magnitud en el cruce de fase es |L| = K/6, así que el margen de ganancia es 20 log(6/K) dB. Al crecer K, toda la curva de ganancia se eleva, la frecuencia de cruce de ganancia se mueve a la derecha, y la fase es más negativa allí, así que el margen de fase se encoge.

Lo que dicen los márgenes

Los márgenes de estabilidad van más allá de un simple estable o no y te dicen cuán confiable es un sistema real. Lo primero es la robustez. Los modelos siempre son inexactos, los valores de los componentes derivan y los sensores tienen retardos. El margen de fase es cuánto retardo de fase extra puede soportar el lazo cerrado antes de volverse inestable, y el margen de ganancia es el factor de ganancia extra que puede soportar. Con un margen escaso, un pequeño error lo derriba. Lo segundo es la forma de la respuesta. El margen de fase es casi proporcional al factor de amortiguamiento en una aproximación de segundo orden, así que un margen de fase de unos 45° a 60° corresponde a un amortiguamiento de 0.45 a 0.6 y un buen transitorio. Así que ajustar la ganancia para un margen de fase objetivo en el Bode hace, en el dominio de la frecuencia, lo mismo que fijar el factor de amortiguamiento en D5 y F2.

De vuelta a la primera pantalla

En el diagrama de Bode del mismo lazo abierto que F1 y F2, leímos el margen que queda antes de la inestabilidad como dos márgenes. El ángulo que falta hasta −180° en la frecuencia donde la ganancia pasa 0 dB fue el margen de fase, y la ganancia que falta bajo 0 dB en la frecuencia donde la fase pasa −180° (ω=√2) fue el margen de ganancia. Subir K elevó la curva de ganancia, ambos márgenes se encogieron juntos, y en K = 6 ambos llegaron a cero y se volvió inestable. Este K = 6 es exactamente la misma frontera que el Routh de F1 y el cruce del eje imaginario del lugar de las raíces de F2. El mismo límite del mismo sistema, visto por Routh con coeficientes, por el lugar de las raíces con el camino de los polos, y por el Bode con los márgenes de la respuesta en frecuencia.

Los márgenes de estabilidad midieron la distancia a la condición −1 en el Bode en dos direcciones. Pero −1 es un solo punto en el plano complejo, así que ¿por qué no dibujar L(jω) mismo en el plano complejo y mirar su relación con ese punto directamente? La próxima unidad, el diagrama de Nyquist, barre la frecuencia ω de cero a infinito y dibuja la curva que traza L(jω). Contando cuántas veces esa curva rodea el punto −1, el criterio de Nyquist decide la estabilidad del lazo cerrado por completo, incluido el caso en que el lazo abierto ya es inestable. Los márgenes de fase y de ganancia reaparecen allí como cuán cerca pasa la curva del −1.