SC · Control

El diagrama de Nyquist

Aquí se ve la estabilidad como una relación con un solo punto, −1. Si marcas el lazo abierto L(jω) en el plano complejo a medida que varía la frecuencia ω, se forma una curva, y al contar cuántas veces rodea esa curva el punto −1 se conoce el número de polos del lazo cerrado en el semiplano derecho. En esta lección mueves la ganancia K y sigues cómo la curva, que pasaba a la derecha de −1, cruza −1 y termina rodeándolo por la izquierda.

Mira si la curva rodea el −1

Es el diagrama de Nyquist del mismo lazo abierto de las unidades F1, F2 y F3, L(jω) = K/(jω(jω + 1)(jω + 2)), dibujado en el plano complejo. La curva dorada intensa es por donde pasa L(jω) al aumentar ω de 0,3 a 30, la curva dorada tenue es su imagen especular para las frecuencias negativas, y la × roja es el punto −1. La curva cruza el eje real negativo en −K/6, en ω = √2, donde la fase llega a −180°. Con la K = 8 inicial, ese cruce está en −1,33, a la izquierda de −1, así que la curva rodea −1. Si bajas la ganancia K, toda la curva se encoge y el cruce se retira hacia la derecha: con K < 6 no rodea −1 y el lazo es estable, con K = 6 pasa justo por −1 (marginal) y con K > 6 vuelve a rodearlo y el lazo es inestable.

plano complejo (× = −1, curva = L(jω))

ganancia K8.0

Relación con −1

K = 8.0 · cruce = -1.33 · GM = 0.75×

N = 2 · Z = 2 (P = 0)

La curva cruza el eje real negativo a la izquierda de −1 (−K/6 < −1) y rodea el punto −1. La curva completa, incluido el gran semicírculo que forma el rodeo alrededor del origen, rodea −1 dos veces en sentido horario, y el criterio de Nyquist cuenta esos dos rodeos como dos polos del lazo cerrado en el semiplano derecho. Es la misma inestabilidad que los dos cambios de signo del criterio de Routh de la unidad F1 y el par de polos complejos que cruzó el eje imaginario en la unidad F2.

Inestable (−1 rodeado)

Dibujar el lazo en el plano complejo

El diagrama de Bode dibujaba por separado la magnitud y la fase del lazo abierto L(jω) frente a la frecuencia. El diagrama de Nyquist las junta en una sola figura. En cada frecuencia ω, L(jω) es un número complejo con magnitud y fase, así que se marca como un punto del plano complejo, y al barrer ω de 0 a infinito (y, de forma simétrica, por las ω negativas) el punto traza una curva. El instante en que, en el diagrama de Bode, la fase vale −180° y a la vez la magnitud vale 1 es aquí el instante en que la curva toca exactamente el punto −1. Por eso todas las preguntas sobre estabilidad se reducen a la relación entre la curva y el único punto −1.

Observadiagrama de Nyquist = L(jω) en el plano complejo

Marca L(jω) como puntos del plano complejo para dibujar una curva.

EligeZ = N + P : contar los rodeos de ?

Z = N + P: cuenta los rodeos de −1.

Completalazo abierto estable: estable ⟺ rodeos = ?

Con el lazo abierto estable, la estabilidad exige no rodear −1.

Por tu cuentala curva pasa por −1 en K = ?

La ganancia con la que la curva pasa por −1 es K = 6.

Cuenta los rodeos del −1

El criterio de Nyquist se resume en una sola ecuación, Z = N + P. Z es el número de polos del lazo cerrado en el semiplano derecho (el valor que queremos que sea 0), P es el número de polos del lazo abierto en el semiplano derecho y N es el número de veces que la curva L(jω) rodea el punto −1 en sentido horario. Los polos en lazo cerrado son las raíces de 1 + L(s) = 0, y que la curva L rodee −1 equivale a que la curva 1 + L rodee el origen, así que el principio del argumento cuenta las raíces que hay dentro. Si el lazo abierto es estable (P = 0), la condición de estabilidad es N = 0, es decir, no rodear nunca −1, y este ejemplo es uno de esos casos. Con K < 6 la curva pasa a la derecha de −1 sin rodearlo, así que el lazo es estable; con K > 6 rodea −1 dos veces, Z = 2, dos polos en el semiplano derecho, y el lazo es inestable.

Donde Nyquist ve más lejos

La fuerza del criterio de Nyquist se ve cuando P no es 0, es decir, en sistemas cuyo lazo abierto ya es inestable. En esos sistemas los márgenes del diagrama de Bode no bastan para juzgar bien la estabilidad, pero el criterio de Nyquist responde con exactitud mediante Z = N + P. Si el lazo abierto tiene un polo en el semiplano derecho (P = 1), para que el lazo cerrado sea estable (Z = 0) la curva debe rodear −1 exactamente una vez en sentido antihorario (N = −1), y la planta inestable de la unidad D4 con ganancia k, L = k/(s − 1), es justamente ese caso. Su curva es una circunferencia con −k y 0 como extremos de un diámetro, así que con k > 1 rodea −1 una vez en sentido antihorario, y por eso el lazo cerrado se vuelve estable con k > 1. Los márgenes de estabilidad también reaparecen aquí: el margen de fase es el ángulo desde donde la curva corta el círculo unitario hasta el eje real negativo, y el margen de ganancia es la distancia desde donde la curva corta el eje real negativo hasta −1, expresada como factor. Ver lo cerca que pasa la curva de −1 da una idea rápida de la robustez.

De vuelta a la primera pantalla

En la primera pantalla dibujaste en el plano complejo el mismo lazo abierto L(jω) de las unidades F1, F2 y F3 y miraste la estabilidad solo a través de su relación con el punto −1. La curva cruzaba el eje real negativo en −K/6. Con K menor que 6, ese cruce estaba a la derecha de −1, la curva no rodeaba −1 y el lazo era estable; con K = 6 pasaba justo por −1, el estado marginal; y con K mayor que 6 el cruce pasaba a la izquierda de −1 y rodeaba −1 dos veces, con dos polos en el semiplano derecho y un lazo inestable. El criterio de Routh con los coeficientes, el lugar de las raíces con el camino de los polos, el diagrama de Bode con los márgenes en frecuencia y el criterio de Nyquist con los rodeos de −1 señalaron el mismo límite del mismo sistema, K = 6. De todos ellos, solo el criterio de Nyquist puede responder incluso cuando el lazo abierto ya es inestable.

Un diagrama de Nyquist es la curva del lazo abierto L(jω) dibujada en el plano complejo a medida que varía la frecuencia ω. Criterio de Nyquist: Z = N + P (Z = número de polos del lazo cerrado en el semiplano derecho, P = número de polos del lazo abierto en el semiplano derecho, N = número de rodeos horarios de −1 por la curva). Los polos en lazo cerrado son las raíces de 1 + L = 0, así que rodear −1 = que 1 + L rodee el origen (principio del argumento). Si el lazo abierto es estable (P = 0), la estabilidad exige no rodear −1 (N = 0). Por ejemplo, L = K/(s(s + 1)(s + 2)) cruza el eje real negativo en −K/6: con K < 6 pasa a la derecha de −1 (estable), con K = 6 pasa por −1 (marginal, margen de ganancia 0 dB) y con K > 6 rodea −1 dos veces (2 polos en el semiplano derecho, inestable). El criterio de Nyquist extiende el mismo límite K = 6 de las unidades F1, F2 y F3 a los casos con P ≠ 0.

Hacia la próxima unidad

Hasta aquí, con el criterio de Routh, el lugar de las raíces, el diagrama de Bode y el diagrama de Nyquist se analizó si un lazo dado es estable y qué tan robusto es. Todos usaban control proporcional, ajustando una sola ganancia K. Pero una sola ganancia proporcional no puede llevar a 0 el error en estado estacionario ante un escalón si la planta no contiene un integrador, ni puede dar a la respuesta transitoria la forma que se quiera. La siguiente unidad, El control PID, añade dinámica al propio controlador. El término integral sigue acumulándose mientras quede error y elimina el error en estado estacionario, y el término derivativo lee los cambios por adelantado para añadir amortiguamiento. Ajustando las ganancias de los tres términos, proporcional, integral y derivativo, se entra en diseños que llevan los polos y los márgenes vistos hasta ahora al lugar deseado.