El diagrama de Nyquist
Mira si la curva rodea el −1
Este es el diagrama de Nyquist del mismo lazo abierto L(jω) = K/(jω(jω+1)(jω+2)) que F1, F2 y F3, dibujado en el plano complejo. Un punto se mueve a lo largo de la frecuencia ω y traza la curva dorada. La × roja es el punto −1. Donde esta curva cruza el eje real negativo es en −K/6, en el ω=√2 donde la fase llega a −180°. Sube la ganancia K y toda la curva crece, empujando ese cruce a la izquierda. Si el cruce está a la derecha de −1 (K<6) la curva no rodea −1, así que estable; por −1 exactamente (K=6) es marginal; más allá a la izquierda (K>6) la curva rodea −1, inestable.
Dibujar el lazo en el plano complejo
El diagrama de Bode dibujó la magnitud y la fase del lazo abierto L(jω) por separado frente a la frecuencia. El de Nyquist combina ambas en una sola imagen. En cada frecuencia ω, L(jω) es un solo número complejo con magnitud y fase, así que lo trazas como un punto en el plano complejo. Barre ω de cero a infinito (y simétricamente a ω negativa) y el punto traza una curva. El instante en que la fase de Bode es −180° y la magnitud es 1 es, aquí, el instante en que la curva toca exactamente el punto −1. Así que toda pregunta de estabilidad se reúne en la relación entre este único punto, −1, y la curva.
Cuenta los rodeos del −1
El criterio de Nyquist se resume en una ecuación: Z = N + P. Aquí Z es el número de polos del semiplano derecho del lazo cerrado (el valor que queremos que sea 0), P es el número de polos del semiplano derecho del lazo abierto, y N es el número de rodeos en sentido horario del punto −1 por la curva L(jω). Los polos de lazo cerrado son las raíces de 1 + L(s) = 0, y que la curva L rodee −1 es lo mismo que la curva 1 + L rodee el origen, así que por el principio del argumento se cuentan las raíces dentro. Si el lazo abierto es estable (P = 0), la condición de estabilidad es simplemente N = 0: no rodear nunca −1. Este ejemplo es así. Con K < 6 la curva pasa a la derecha de −1 y no lo rodea, así que estable; con K > 6 lo rodea dos veces, dando Z = 2, dos polos en el semiplano derecho, inestable.
Donde Nyquist ve más lejos
El poder de Nyquist se muestra cuando P no es cero, es decir para un sistema cuyo lazo abierto ya es inestable. Para tal sistema los simples márgenes de un Bode no pueden juzgar bien la estabilidad, pero Nyquist responde exactamente con Z = N + P. Por ejemplo, si el lazo abierto tiene un polo en el semiplano derecho (P = 1), entonces para que el lazo cerrado sea estable (Z = 0) la curva debe rodear −1 exactamente una vez en sentido antihorario (N = −1). La situación de D4 de estabilizar una planta inestable con realimentación, Nyquist la explica por la dirección y el número de rodeos de −1. Y los márgenes de estabilidad reaparecen aquí: el margen de fase es el ángulo desde donde la curva corta el círculo unitario hasta el eje real negativo, y el margen de ganancia es la distancia desde donde la curva corta el eje real negativo hasta −1. Al final, cuán cerca roza la curva el −1 dice la robustez de un vistazo.
De vuelta a la primera pantalla
Dibujando el mismo lazo abierto L(jω) que F1, F2 y F3 en el plano complejo, vimos la estabilidad como una sola relación con el punto −1. La curva cruzó el eje real negativo en −K/6. Cuando K estaba por debajo de 6 ese cruce estaba a la derecha de −1, así que la curva no rodeaba −1 y era estable; en K = 6 pasaba exactamente por −1, marginal; cuando K superaba 6 el cruce iba a la izquierda de −1 y la curva rodeaba −1 dos veces, dos polos en el semiplano derecho, inestable. Routh por coeficientes, el lugar de las raíces por el camino de los polos, el Bode por los márgenes de frecuencia, y ahora Nyquist por el conteo de rodeos de −1, todos señalan la misma frontera K = 6 del mismo sistema, una cuarta forma de ver. Y solo Nyquist puede responder incluso cuando el lazo abierto ya es inestable.
Hasta aquí, con Routh, el lugar de las raíces, el Bode y Nyquist, analizamos si un lazo dado es estable y cuán robusto es. Todo era control proporcional, ajustando solo la única ganancia K. Pero lo proporcional por sí solo no puede llevar el error de estado estacionario a cero ni moldear el transitorio a voluntad. La próxima unidad, el control PID, añade dinámica al propio controlador. El término integral sigue acumulando mientras quede un error y borra el error de estado estacionario, mientras el término derivativo lee el cambio por adelantado y añade amortiguamiento. Ajustando las ganancias de los términos proporcional, integral y derivativo, entramos en diseñar los polos y márgenes que hemos venido viendo directamente en los lugares que queremos.