Estabilidad y el criterio de Routh

Juzga la estabilidad sin resolver los polos

Como en la realimentación de D4, poner realimentación unitaria con ganancia K alrededor de K/(s(s+1)(s+2)) da el polinomio característico de lazo cerrado s³ + 3s² + 2s + K = 0. Las marcas × en el plano s de la izquierda son sus tres polos, y el semiplano izquierdo verde es la región estable. A la derecha, el indicador muestra la primera columna de la tabla de Routh construida con esos coeficientes. Mueve la ganancia K. Al crecer K, la entrada (6−K)/3 de la primera columna se vuelve negativa, y justo entonces un par de polos complejos cruza el eje imaginario al semiplano derecho. Solo con la tabla de Routh, sin resolver los polos, puedes hallar esa frontera.

Estabilidad es todos los polos en el semiplano izquierdo

Como vimos en D2, para que un sistema sea estable, cada raíz de su polinomio característico —cada polo— debe estar en el semiplano izquierdo (parte real negativa). Si aunque sea una está en el derecho, ese modo diverge. Pero más allá del tercer orden, resolver las raíces a mano es penoso, y en orden alto prácticamente imposible. Por suerte lo que queremos no son las raíces exactas sino un único sí o no: ¿están todas en el semiplano izquierdo? El criterio de Routh–Hurwitz lo responde combinando solo los coeficientes del polinomio característico, sin resolver ninguna raíz. Primero, una condición necesaria: cada coeficiente debe estar presente y del mismo signo (normalmente positivo). Si falta un coeficiente o tiene signo distinto, eso solo ya significa inestable.

El arreglo de Routh y los signos de su primera columna

El arreglo de Routh empieza escribiendo los coeficientes en dos filas alternas. Para s³ + 3s² + 2s + K, la fila s³ recibe 1 y 2, la fila s² recibe 3 y K. Desde la fila siguiente hacia abajo, rellenas tejiendo las dos filas de arriba como un determinante 2×2. El primer valor de la fila s¹ es (3·2 − 1·K)/3 = (6−K)/3, y la fila s⁰ es K. La primera columna de este arreglo, 1, 3, (6−K)/3, K, es todo el veredicto. La regla clave: el número de cambios de signo bajando por la primera columna es exactamente el número de polos en el semiplano derecho. Cero cambios significa ningún polo en el semiplano derecho, así que estable; uno significa uno, dos significa dos en el semiplano derecho. En este ejemplo, cuando (6−K)/3 es positivo, es decir K < 6, no hay cambios de signo y es estable.

La ganancia de frontera y el diseño

El punto donde una entrada de la primera columna se vuelve exactamente cero es la frontera entre estable e inestable. En este ejemplo (6−K)/3 = 0, es decir K = 6, es la ganancia crítica, y allí la ecuación auxiliar formada por las filas s² y s⁰, 3s² + 6 = 0, da s² = −2, ubicando polos en s = ±j√2. Esa es la frecuencia a la que el sistema oscila con amplitud constante. Routh va más allá de un simple aprobado o reprobado: te entrega, a mano, la ganancia de frontera e incluso la frecuencia de oscilación allí. Así que en diseño de control lo usas de inmediato para fijar un límite superior seguro de ganancia, o para preguntar hasta dónde puede variar un parámetro manteniéndose estable. Conduce naturalmente a las herramientas de la siguiente etapa, el lugar de las raíces y los diagramas de Bode, para mover polos y dar forma a la respuesta deseada.

De vuelta a la primera pantalla

Para el lazo cerrado formado al realimentar K/(s(s+1)(s+2)) con ganancia K, el polinomio característico s³ + 3s² + 2s + K se juzgó solo con los coeficientes, sin resolver los polos. En la primera columna de Routh 1, 3, (6−K)/3, K, el número de cambios de signo era el número de polos en el semiplano derecho. Subir K volvió negativa (6−K)/3, creando dos cambios de signo, y justo entonces el par de polos complejos del plano s cruzó el eje imaginario al semiplano derecho. La frontera fue K = 6, donde los polos eran s = ±j√2. Sin resolver una por una las raíces de una ecuación de alto orden, una sola combinación de coeficientes puso en tu mano el veredicto de estabilidad y su frontera.

Routh nos dijo si el sistema es estable en una ganancia, pero no el camino que trazan los polos por el plano s a medida que la ganancia sube desde cero. La próxima unidad, el lugar de las raíces, dibuja exactamente ese camino. Seguir el rastro de los polos de lazo cerrado al variar la ganancia K —partiendo de los polos de lazo abierto y dirigiéndose hacia los ceros— muestra de un vistazo dónde cruzan el eje imaginario hacia la inestabilidad y en qué K obtienes el factor de amortiguamiento que quieres. La frontera K = 6 que acabamos de hallar con Routh es justo el punto donde el lugar de las raíces se encuentra con el eje imaginario.