Estabilidad y el criterio de Routh

Juzga la estabilidad sin resolver los polos

Como en la realimentación de la unidad D4, si pones realimentación unitaria con ganancia K alrededor de K/(s(s + 1)(s + 2)), la ecuación característica en lazo cerrado es s³ + 3s² + 2s + K = 0. La gráfica de arriba es el plano s: las × doradas son sus tres polos, y el semiplano izquierdo sombreado en verde es la región estable. La casilla de abajo muestra la primera columna de la tabla de Routh construida con esos coeficientes, 1, 3, (6 − K)/3, K, y la entrada que se vuelve negativa se pone roja. Con la K = 8 inicial, (6 − K)/3 es negativa, así que el signo cambia dos veces y un par de polos complejos está a la derecha del eje imaginario. Baja K por debajo de 6 y esa entrada vuelve a ser positiva; en el mismo instante los dos polos cruzan el eje imaginario hacia el semiplano izquierdo, de modo que la tabla de Routh basta para conocer el límite sin resolver los polos.

Estabilidad es todos los polos en el semiplano izquierdo

Como mostró la unidad D2, para que un sistema sea estable todas las raíces de la ecuación característica, es decir, todos los polos, deben estar en el semiplano izquierdo (parte real negativa), y si aunque sea uno está en el semiplano derecho, su modo diverge. Pero resolver las raíces a mano es penoso en cuanto se pasa de tercer orden, y con órdenes más altos es prácticamente imposible. Por suerte, lo que se quiere saber no es el valor exacto de las raíces, sino un solo sí o no: '¿están todas en el semiplano izquierdo?'. El criterio de Routh–Hurwitz da esa respuesta combinando solo los coeficientes de la ecuación característica, sin resolver ninguna raíz. Primero hay una condición necesaria: todos los coeficientes deben estar presentes y tener el mismo signo (normalmente positivo). Si falta aunque sea un coeficiente o tiene otro signo, eso basta para concluir que el sistema no es estable.

El arreglo de Routh y los signos de su primera columna

Una tabla de Routh empieza escribiendo los coeficientes de la ecuación característica alternados en dos filas. Para s³ + 3s² + 2s + K, se ponen 1 y 2 en la fila s³, y 3 y K en la fila s². Cada fila de abajo se llena combinando las dos de arriba como un determinante de 2×2: el primer valor de la fila s¹ es (3·2 − 1·K)/3 = (6 − K)/3, y la fila s⁰ es K. La primera columna que resulta, 1, 3, (6 − K)/3, K, es todo lo que hace falta para el veredicto. La regla es una sola. El número de cambios de signo al bajar por la primera columna es exactamente el número de polos en el semiplano derecho: sin cambios de signo no hay polos allí y el sistema es estable; con un cambio hay 1, y con dos hay 2. En este ejemplo, si (6 − K)/3 es positiva, es decir, si K < 6, no hay cambios de signo y el sistema es estable.

La ganancia de frontera y el diseño

El punto donde una entrada de la primera columna vale exactamente 0 es el límite entre estable e inestable. En este ejemplo, (6 − K)/3 = 0, es decir, K = 6, es la ganancia crítica, y con ella, al plantear con la fila s² la ecuación auxiliar 3s² + 6 = 0 y resolverla, sale s² = −2, así que los polos quedan en s = ±j√2. Esa es la frecuencia angular, √2 rad/s, a la que el sistema oscila con amplitud constante. Así, con el criterio de Routh no solo se distingue aprobado de reprobado: a mano se pueden hallar la ganancia límite y la frecuencia de oscilación en ese punto. Por eso se usa directamente en el diseño de control para fijar un límite superior seguro de la ganancia o para ver hasta dónde puede variar un parámetro sin perder la estabilidad, y conduce de forma natural al lugar de las raíces y al diagrama de Bode, que mueven los polos para dar forma a la respuesta deseada.

De vuelta a la primera pantalla

En la primera pantalla juzgaste la ecuación característica s³ + 3s² + 2s + K del lazo cerrado que se forma al poner realimentación con ganancia K alrededor de K/(s(s + 1)(s + 2)), usando solo sus coeficientes y sin resolver los polos. En la primera columna de la tabla de Routh, 1, 3, (6 − K)/3, K, el número de cambios de signo era el número de polos en el semiplano derecho. Al subir K, (6 − K)/3 se volvió negativa y aparecieron dos cambios de signo, y justo en ese momento el par de polos complejos del plano s cruzó el eje imaginario hacia el semiplano derecho. El límite fue K = 6, donde los polos estaban en s = ±j√2. Sin resolver una por una las raíces de una ecuación de orden alto, una sola combinación de coeficientes te puso en las manos la estabilidad y su límite.

Con Routh distinguiste si el sistema es estable a una ganancia dada, pero aún no viste qué camino trazan los polos en el plano s mientras la ganancia sube desde 0. La siguiente unidad, El lugar de las raíces, dibuja justamente ese camino. Si sigues cómo los polos en lazo cerrado parten de los polos en lazo abierto y se dirigen a los ceros en lazo abierto (o al infinito cuando no hay ceros) a medida que cambia la ganancia K, verás de un vistazo dónde cruzan el eje imaginario y se vuelven inestables, y con qué K se obtiene la razón de amortiguamiento deseada. El límite K = 6 que acabas de hallar con Routh es exactamente el punto donde el lugar de las raíces corta el eje imaginario.