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SC · Fourier

La serie de Fourier

Una señal periódica se divide en una suma de sinusoides en múltiplos enteros de su frecuencia fundamental, sus armónicos. Comprueba por ti mismo cómo, al sumar armónicos uno a uno, la suma parcial recupera la forma de la onda cuadrada original.

Suma armónicos para construir la onda cuadrada

La curva dorada discontinua es el objetivo, una onda cuadrada de ±1, y la curva azul es la suma parcial de unos cuantos armónicos impares. Las barras de abajo son la intensidad de cada armónico, y los términos ya sumados se encienden en dorado. Sube el número de términos pasando por 1, 2, 4, 8 y 20 y comprueba cuánto se acerca la suma parcial a la onda cuadrada.

suma parcialonda cuadrada objetivo
intensidad bₖ = 4/kπ
número de armónicos
Suma parcial y cercanía
(4/π) Σ sin(kω₀t)/k, k ≤ 1
Con un solo término, es una única sinusoide suave. La fundamental por sí sola no puede seguir en absoluto las esquinas abruptas de la onda cuadrada.
Un término

Una señal periódica es suma de armónicos

Una señal de periodo T está formada solo por sinusoides en la frecuencia fundamental ω₀ = 2π/T y sus múltiplos enteros 2ω₀, 3ω₀, …, y estas componentes múltiplos enteros se llaman armónicos. Por eso cualquier señal periódica se escribe como un término constante más una suma de armónicos. Igual que el sonido de un instrumento se compone de un tono fundamental y sus sobretonos, la fundamental y los armónicos se juntan para formar una onda. La onda cuadrada de esta pantalla tiene ω₀ = 2, así que su periodo es π.

Observaf(t) = a₀ + Σ [aₖ cos(kω₀t) + bₖ sin(kω₀t)]
Una señal periódica es constante más suma de armónicos.
Eligeω₀ = ?
La fundamental es 2π entre el periodo.
Completabₖ = ? (k impar)
El coeficiente seno de la cuadrada es 4/kπ.
Por tu cuentaarmónicos en ?
Los armónicos son múltiplos enteros de la fundamental.

Más términos, mejor ajuste

Una suma parcial es una aproximación que suma solo los primeros armónicos. Al añadir términos, los armónicos de mayor frecuencia rellenan los cambios abruptos y las esquinas se afilan. Una onda cuadrada solo tiene armónicos impares, y la intensidad del k-ésimo es 4/kπ, menor cuanto más alta la frecuencia; con 20 términos entran armónicos hasta el 39. Sin embargo, en una señal con una discontinuidad, el sobrepaso cerca del salto no desaparece al añadir términos, sino que se queda en cerca del 9% de la altura del salto: es el fenómeno de Gibbs.

Los coeficientes son las intensidades

El número delante de cada armónico, el coeficiente de Fourier, decide cuánto de ese armónico entra en la mezcla. Vista con la descomposición par-impar (A4), la onda cuadrada es una función impar, así que solo aparecen senos y ningún coseno, y como tiene simetría de media onda, los armónicos pares también son 0. Al ordenar estos coeficientes por frecuencia se obtiene el espectro de la señal, de modo que una onda en el dominio del tiempo se convierte en unas pocas barras en el dominio de la frecuencia. Ese es el tema de la próxima unidad.

De vuelta a la primera pantalla

Con un término, la suma parcial era solo una sinusoide, lejos de la onda cuadrada. Al sumar armónicos impares, las esquinas se hicieron abruptas, las crestas se aplanaron y fue pareciéndose a la onda cuadrada, mientras en cada discontinuidad quedaba una pequeña oreja de Gibbs que no desaparece. Las barras de abajo eran las intensidades de los armónicos, 4/kπ, más cortas a mayor frecuencia. Esta descomposición de una señal periódica en armónicos es la serie de Fourier, y la imagen de esas barras alzadas sobre un eje de frecuencia es el espectro.

La serie de Fourier escribe una señal de periodo T como suma de armónicos en múltiplos enteros de la frecuencia fundamental ω₀ = 2π/T: f(t) = a₀ + Σ [aₖ cos(kω₀t) + bₖ sen(kω₀t)], donde los coeficientes de Fourier aₖ, bₖ son las intensidades de los armónicos. La onda cuadrada es una función impar, así que solo quedan senos, bₖ = 4/kπ (k impar), y los armónicos pares son 0. Más términos acercan la suma parcial, pero en una discontinuidad queda un sobrepaso de cerca del 9% del salto (el fenómeno de Gibbs).
Hacia la próxima unidad

Ya que se ha visto que cada armónico tiene una intensidad, toca dibujar esas intensidades mismas. En la próxima unidad, el espectro, la magnitud de cada armónico se alza como una barra sobre un eje de frecuencia en lugar de una onda sobre un eje de tiempo, y la onda cuadrada aparece entonces como unas pocas barras alzadas solo en múltiplos impares de la frecuencia. Ver la misma señal en el tiempo o en la frecuencia, dos imágenes que forman una pareja: ahí se abre el núcleo de Fourier.