La serie de Fourier
Suma armónicos para construir la onda cuadrada
La curva discontinua dorada es la onda cuadrada objetivo. La azul es la suma parcial de unos armónicos impares, y abajo está la intensidad de cada uno. Aumenta el número de armónicos y ve cuánto se acerca la suma a la cuadrada.
Una señal periódica es suma de armónicos
Una señal de periodo T se construye solo con sinusoides en la fundamental ω₀ = 2π/T y sus múltiplos enteros 2ω₀, 3ω₀, …. Esas componentes de múltiplo entero son los armónicos. Así, toda señal periódica se escribe como un término constante más una suma de armónicos. Como un acorde musical, una fundamental y sus sobretonos se combinan en una forma de onda.
Más términos, mejor ajuste
Una suma parcial es una aproximación con solo los primeros armónicos. Añadir términos deja que los armónicos de mayor frecuencia rellenen los cambios bruscos, así que los bordes se afilan. Una onda cuadrada solo tiene armónicos impares, y la intensidad del k-ésimo es 4/kπ, menor a mayor frecuencia. Pero en una señal con discontinuidad, el sobrepaso cerca del salto no desaparece con más términos: se queda en torno al 9%. Es el fenómeno de Gibbs.
Los coeficientes son las intensidades
El número delante de cada armónico —su coeficiente de Fourier— fija cuánto de ese armónico mezclar. Por simetría par/impar (A4) la onda cuadrada es impar, así que solo aparecen senos, sin cosenos, y los armónicos pares son 0. Ordena estos coeficientes por frecuencia y obtienes el espectro de la señal. Una forma de onda en el tiempo se vuelve unas pocas barras en frecuencia: el tema de la próxima unidad.
De vuelta a la primera pantalla
Con un término la suma parcial era una sinusoide solitaria, lejos de la cuadrada. Añadir armónicos impares empinó los bordes y aplanó la cima hacia la cuadrada, dejando pequeñas orejas de Gibbs en los saltos que nunca desaparecen. Las barras de abajo eran la intensidad de cada armónico 4/kπ, más cortas a mayor frecuencia. Esta descomposición de una señal periódica en armónicos es la serie de Fourier, y poner esas barras de pie en un eje de frecuencia es el espectro.
Ahora que has visto que cada armónico tiene una intensidad, toca graficar esas intensidades mismas. La próxima unidad, el espectro, reemplaza la forma de onda del eje temporal por barras sobre un eje de frecuencia, una por armónico. Entonces la onda cuadrada aparece como unas pocas barras solo en frecuencias impares. Ver la misma señal en tiempo o en frecuencia —las dos imágenes formando un par— es el corazón de Fourier, y se abre ahí.