SC · Fundamentos de señales

Partes par e impar de una señal

Toda señal se divide de forma única en una parte par con simetría especular y una parte impar con simetría central. Pliega la señal contra su propio reflejo para extraer estas dos, y de paso aprende a medir una señal por energía frente a potencia.

Recombina par e impar para reconstruir la original

La curva discontinua dorada es la señal original x(t). La parte par, con simetría especular, sola reproduce solo la mitad. Solo sumando las piezas par e impar vuelve la original exactamente.

Toca para cambiar la pieza.

Pieza elegida y fórmula

xₑ = [x(t) + x(−t)] / 2

La parte par es la señal promediada con su propio reflejo, así que es especular. No puede llevar la inclinación de la original, así que solo coincide a medias.

La mitad

Pliega la señal contra su reflejo

Una función par cumple x(−t) = x(t), especular respecto al eje vertical. Una impar cumple x(−t) = −x(t), central respecto al origen. Suma cualquier señal con su reflejo x(−t) y divide entre dos para quedarte solo con la parte simétrica; resta y divide para quedarte solo con la antisimétrica.

Observaxₑ = [x(t) + x(−t)] / 2

La par es la suma con el reflejo, dividida entre dos.

Eligexₒ = [x(t) ?] / 2

La impar es la resta del reflejo, dividida entre dos.

Completax(t) = xₑ ? xₒ

Par más impar es la original.

Por tu cuentaE = ?

La energía total es la integral de |x|².

Par más impar es siempre la original

Sumar las dos fórmulas da [x(t)+x(−t)]/2 + [x(t)−x(−t)]/2 = x(t): los términos reflejados se cancelan y la original vuelve exacta. Así, toda señal se escribe de forma única como suma de sus partes par e impar. Esta división suele simplificar el trabajo: por ejemplo, una integral que halla simetría puede anular la mitad de sus términos.

Medir el tamaño: energía o potencia

El tamaño de una señal se mide con dos varas. Si la energía total E = ∫|x(t)|² dt es finita, es una señal de energía y su potencia media es 0; las señales que se desvanecen, como los pulsos, viven aquí. En cambio, una señal que dura por siempre, como una periódica, tiene E = ∞ pero potencia media P finita, así que se llama señal de potencia. Ninguna señal puede ser ambas.

De vuelta a la primera pantalla

La parte par sola, al ser especular, solo coincidía con la mitad de la original inclinada. Sumar la parte impar canceló los términos reflejados y devolvió exacta la original discontinua dorada. Toda señal se divide así, de forma única, en dos piezas independientes: simétrica (par) y antisimétrica (impar). Y el tamaño de una señal se lee como energía si se desvanece, potencia si persiste. La simetría mide la forma; energía y potencia miden el tamaño: varas distintas.

Toda señal se divide de forma única en una parte par xₑ(t) = [x(t) + x(−t)]/2 y una parte impar xₒ(t) = [x(t) − x(−t)]/2. Par significa x(−t) = x(t) (simetría especular); impar significa x(−t) = −x(t) (simetría central). El tamaño se mide por energía total E = ∫|x(t)|² dt y potencia media. Si E es finita es una señal de energía (P = 0); si E = ∞ pero P es finita es una señal de potencia.

Hacia las próximas unidades

La simetría se vuelve una palanca que recorta el trabajo futuro. En la transformada de Fourier, las señales pares van a cosenos (real) y las impares a senos (imaginario), fijando la simetría del espectro. La división energía–potencia es el puente del teorema de Parseval, que mide el mismo tamaño en tiempo y frecuencia, y la base del espectro de potencia. La próxima unidad, propiedades de un sistema, clasifica no señales sino los sistemas que las transforman: lineal, invariante en el tiempo, causal.