Partes par e impar de una señal

Recombina par e impar para reconstruir la original

La curva dorada discontinua es la señal original x(t), una forma de campana inclinada hacia la derecha. Cambia las piezas con las pestañas y verás que la parte par (azul), al ser simétrica de izquierda a derecha, no puede recoger esa inclinación, y solo al sumar la parte impar (verde) vuelve exactamente la original.

Pliega la señal contra su reflejo

Una función par cumple x(−t) = x(t), así que es simétrica como un espejo respecto del eje vertical, y una función impar cumple x(−t) = −x(t), así que es simétrica respecto del origen. Si a cualquier señal se le suma su reflejo x(−t) y se divide entre dos, solo queda la componente simétrica; si se resta y se divide entre dos, solo queda la antisimétrica. La original de la figura es la campana g(t) multiplicada por (1 + 0,8t), así que la parte par es g(t) y la impar es 0,8t·g(t).

Par más impar es siempre la original

Al sumar las dos fórmulas queda [x(t) + x(−t)]/2 + [x(t) − x(−t)]/2 = x(t): los términos reflejados se cancelan y la original vuelve exactamente. Por eso toda señal puede escribirse de una única manera como suma de una parte par y una impar. Esta descomposición acorta a menudo los cálculos, porque una función impar integrada sobre un intervalo simétrico de −T a T da 0.

Medir el tamaño: energía o potencia

El tamaño de una señal se mide con dos varas. Si la energía total E = ∫|x(t)|² dt es finita, es una señal de energía, y su potencia media es 0. Un pulso que se apaga, como la curva dorada de la figura pequeña adjunta, pertenece a este grupo, y su área ∫e^(−t²) dt = √π ≈ 1,77 es la energía. En cambio, una señal periódica como la curva azul continúa para siempre, así que E = ∞, pero su potencia media P es finita y se llama señal de potencia. La curva azul es cos²(2,5t), así que su altura media de 0,5 es justamente P. Una señal no puede ser ambas cosas, y algunas, como la rampa t que crece sin parar, no son ninguna.

De vuelta a la primera pantalla

La parte par sola era simétrica de izquierda a derecha, así que solo encajaba a medias con la original inclinada. Al sumar la parte impar, los términos reflejados se cancelaron y la original dorada discontinua volvió exactamente. Toda señal se divide así, de una única manera, en dos piezas independientes: la simétrica (par) y la antisimétrica (impar). El tamaño de una señal, por su parte, se mide como energía si se apaga y como potencia si persiste, de modo que la simetría y la energía o potencia son varas distintas, una para la forma y otra para el tamaño.

La simetría se convierte en una palanca que reduce los cálculos de aquí en adelante. En la transformada de Fourier, una señal real par tiene un espectro real y una señal real impar uno puramente imaginario, lo que fija la simetría del espectro. La distinción entre energía y potencia lleva al teorema de Parseval, que mide el mismo tamaño en el tiempo y en la frecuencia, y es la base del espectro de potencia. La próxima unidad, propiedades de un sistema, no clasifica señales sino los sistemas que las cambian: lineales, invariantes en el tiempo y causales.