El teorema de muestreo

Muestrea lo bastante rápido para reconstruir la señal

La curva dorada es la señal continua; los puntos brillantes son muestras tomadas a intervalos regulares. Cuando la tasa de muestreo fs es menor que el doble de la frecuencia de la señal (Nyquist), aparece un impostor rojo de menor frecuencia que pasa por esos mismos puntos. Solo con las muestras no puedes distinguirlos, así que el original se pierde. Sube fs para juntar más las muestras hasta que el impostor rojo desaparezca. Abajo está la misma historia vista en el eje de frecuencia.

Muestrea más rápido que el doble

El teorema de muestreo dice: si todo el contenido de frecuencia de una señal está por debajo de fmax (banda limitada), entonces cuando la tasa fs es mayor que 2·fmax, las muestras por sí solas permiten reconstruir la señal continua original sin error. A 2·fmax se le llama la tasa de Nyquist. La intuición es simple: para seguir una oscilación hay que captar una cresta y un valle, es decir al menos dos puntos por ciclo, antes de que las muestras puedan rastrear ese vaivén. Con menos de dos, una oscilación rápida se cuela sin verse entre las muestras.

Muy lenta, y las frecuencias se pliegan

Muestrear hace que el espectro de la señal se repita idéntico en cada múltiplo entero de la tasa fs. Si el contenido original está en ±fmax, aparecen copias en fila centradas en ±fs, ±2fs, etc. Cuando fs es mayor que 2·fmax hay un hueco entre estas copias y el contenido original puede extraerse limpiamente. Pero en cuanto fs cae por debajo de 2·fmax, una copia vecina se solapa con el original. Entonces todo lo que esté por encima de fs/2 (la frecuencia de plegado) se pliega por debajo, y una oscilación en fmax se disfraza de una frecuencia más baja como |fmax − fs|. Esto es el aliasing, y el impostor rojo de la primera pantalla es justo esa frecuencia plegada.

Reconstrucción y el filtro anti-aliasing

Si muestreaste respetando la condición de Nyquist, la reconstrucción termina al extender cada muestra en una forma sinc y sumarlas todas. Esto equivale a un filtro pasa-bajos ideal que recorta las copias por encima de fs/2 y deja solo la banda original. El problema surge cuando una señal real no está perfectamente limitada en banda, o el ruido añade contenido por encima de fs/2. Muestrearla tal cual pliega ese contenido alto hacia abajo y corrompe la señal para siempre. Por eso, antes de muestrear, un filtro anti-aliasing recorta de antemano todo lo que esté por encima de fs/2. El aliasing, una vez plegado, no puede deshacerse después de muestrear, así que la prevención debe venir siempre antes de tomar las muestras.

De vuelta a la primera pantalla

Con la tasa fs lenta, caían menos de dos muestras por ciclo y aparecía un impostor rojo que pasaba por los mismos puntos. Solo con las muestras no se podía distinguir el original del impostor. Subir fs por encima del doble de la frecuencia de la señal puso más de dos muestras por ciclo, y las copias del eje de frecuencia se separaron, de modo que el impostor rojo desapareció. La señal de banda limitada que pasa por las muestras quedó fijada al único original. Que la tasa de muestreo supere o no el doble de la frecuencia más alta de la señal fue lo que separó perder la señal de reconstruirla.

Viste que cuando la tasa de muestreo se queda corta, una frecuencia alta se pliega hacia una baja. La próxima unidad, el aliasing, mira ese pliegue más de cerca. El video donde una rueda parece girar al revés, los patrones de muaré en fotos digitales, un sonido que se va de tono: todos son el mismo pliegue con caras distintas. Tomando la frecuencia de plegado fs/2 como espejo, vemos cómo las frecuencias rebotan hacia dentro, y qué hace un filtro anti-aliasing frente a ese espejo.