El teorema de muestreo

Muestrea lo bastante rápido para reconstruir la señal

En la gráfica de arriba, la curva dorada es una señal senoidal de frecuencia f0 = 1, y los puntos brillantes son muestras tomadas a intervalos regulares. La tasa de muestreo empieza en fs = 1,4, más lenta que el doble de la frecuencia de la señal (la tasa de Nyquist, 2), así que también se dibuja una curva roja punteada de menor frecuencia, una forma de onda falsa que pasa por los mismos puntos. Mirando solo las muestras no puedes distinguir una de otra, lo que significa que la señal original se ha perdido. La gráfica de abajo muestra la misma situación en el eje de frecuencias: el triángulo dorado es el espectro original, los triángulos tenues son las copias creadas en cada múltiplo de fs, y las líneas doradas punteadas son la frecuencia de plegado ±fs/2. Sube fs por encima de 2 y la falsa roja y el sombreado rojo de solapamiento desaparecen a la vez.

Muestrea más rápido que el doble

Esto es lo que dice el teorema de muestreo. Si todas las componentes de frecuencia de una señal están por debajo de fmax (banda limitada), entonces, cuando la tasa de muestreo fs es más rápida que 2·fmax, esas muestras bastan para recuperar sin error la señal continua original. Ese 2·fmax se llama tasa de Nyquist. La intuición es sencilla. En cada oscilación hay que captar al menos una vez la cresta y una vez el valle, así que las muestras solo pueden seguir esa oscilación si se toman más de dos puntos por ciclo. Si se toman más espaciados, la oscilación rápida se escapa entre una muestra y la siguiente.

Muy lenta, y las frecuencias se pliegan

Al muestrear, el espectro de la señal se copia idéntico en cada múltiplo entero de la tasa de muestreo fs. Si las componentes originales van de −fmax a fmax, se alinean copias con la misma forma alrededor de ±fs, ±2fs, etc. Cuando fs es mayor que 2·fmax quedan huecos entre las copias y se pueden separar limpiamente las componentes originales; cuando fs baja de 2·fmax, las copias vecinas se solapan con la original. Entonces las componentes por encima de fs/2 (la frecuencia de plegado) se pliegan por debajo de ella, y si fs está entre fmax y 2·fmax, una oscilación a fmax se disfraza de la frecuencia menor |fmax − fs|. Eso es el aliasing: la falsa roja de la primera pantalla es justamente esta frecuencia plegada, y el sombreado rojo de la gráfica de abajo marca dónde se solapan las copias.

Reconstrucción y el filtro antialiasing

Si muestreaste respetando la condición de Nyquist, la reconstrucción consiste simplemente en extender cada muestra en forma de sinc y sumarlas todas. Equivale a usar un filtro pasa bajos ideal con frecuencia de corte fs/2 para eliminar las copias por encima de fs/2 y quedarse solo con la banda original. El problema surge cuando la señal real no tiene la banda perfectamente limitada, o el ruido mete componentes por encima de fs/2. Si se muestrea tal cual, esas componentes altas se pliegan hacia dentro y contaminan la señal sin remedio. Por eso, antes de muestrear se coloca un filtro antialiasing que recorta de antemano todo lo que está por encima de fs/2; una vez plegado, el aliasing no se puede quitar después del muestreo, así que siempre hay que bloquearlo antes de muestrear.

De vuelta a la primera pantalla

Con una tasa de muestreo fs lenta, en cada ciclo caían menos de dos muestras y aparecía una forma de onda falsa roja que pasaba por los mismos puntos. Con las muestras solas no se podía distinguir la original de la falsa. Al subir fs por encima del doble de la frecuencia de la señal, hubo más de dos muestras por ciclo, y al separarse las copias del eje de frecuencias, la falsa roja también desapareció. La señal de banda limitada que pasa por las muestras quedó fijada en una sola: la original. Que la tasa de muestreo superara o no el doble de la frecuencia más alta de la señal decidió si la señal se perdía o se recuperaba.

Ya viste que cuando la tasa de muestreo no alcanza, las frecuencias altas se pliegan como bajas. La siguiente unidad, El aliasing, examina este plegado más de cerca. Las ruedas de un video que parecen girar al revés, los patrones ondulados de las fotos digitales y los sonidos cuyo tono sale desafinado son caras distintas del mismo plegado. Allí se ve cómo rebotan las frecuencias con la frecuencia de plegado fs/2 como espejo, y qué hace el filtro antialiasing delante de ese espejo.