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SC · LTI y convolución

Propiedades de los sistemas LTI

Las propiedades de un sistema LTI están escritas en la forma de su respuesta al impulso h. La causalidad se lee de cuándo empieza h y la estabilidad de si el área total de |h| es finita, y al mover la tasa de decaimiento cruzas tú mismo la frontera entre estable e inestable.

¿El área acumulada llega a un techo?

La figura de arriba es la respuesta al impulso causal h(t) = eᵃᵗ (t ≥ 0), y la de abajo es el área acumulada de |h| apilada desde la izquierda. Si bajas la tasa de decaimiento a lo suficiente por debajo de 0, esta área deja de crecer sin fin y se detiene en el techo 1/|a| marcado con la línea verde discontinua; que exista ese techo es lo que significa estabilidad.

respuesta h(t)=eᵃᵗ
área |h| acumuladatecho 1/|a|
tasa de decaimiento a0.40
Área total y veredicto
∫ |h| dt = ∞
Como a > 0, h crece sin fin. El área acumulada de |h| diverge sin techo, así que ∫|h| = ∞, y es un sistema inestable en el que hasta una entrada pequeña dispara la salida.
Inestable

La causalidad es cuándo empieza h

El impulso llega en t = 0. Un sistema causal no puede reaccionar antes, así que su respuesta al impulso debe valer 0 para t < 0; en símbolos, h(t) = 0 para t < 0. La h de esta pantalla solo vive para t ≥ 0, así que, valga lo que valga a, siempre es causal. Basta mirar si la gráfica de h se mantiene quieta a la izquierda de 0 para leer la causalidad de inmediato.

La estabilidad es el área total de |h|

La estabilidad BIBO significa que una entrada acotada siempre produce una salida acotada. La salida es la convolución de la entrada con h, así que su tamaño nunca puede superar el tamaño máximo de la entrada por ∫|h(t)| dt. Por eso esta integral debe ser finita para que haya estabilidad: la condición es ∫|h(t)| dt < ∞, es decir, h debe ser absolutamente integrable.

Observah(t) = 0, t < 0
Si es causal, h vale 0 para t < 0.
Eligestable: ∫ |h(t)| dt ?
Estable: la integral absoluta es finita.
Completa∫₀^∞ eᵃᵗ dt = ?
Para a<0 la integral es −1/a = 1/|a|.
Por tu cuentastable ⟺ a ?
La respuesta exponencial es estable solo si a<0.

Léelo del signo del polo

Para h = eᵃᵗu(t), la integral ∫₀^∞ eᵃᵗ dt solo es finita cuando a < 0, y su valor es 1/|a|. Así que la condición de estabilidad es simplemente a < 0, y con a = −1 el techo es 1, con a = −0,5 es 2: cuanto más se acerca a a 0, más alto el techo. Esta a es la posición del polo en el plano s que verás en el próximo capítulo, y lleva a la regla de que un sistema es estable cuando sus polos están a la izquierda del eje imaginario (parte real < 0). La propiedad que leías de la forma de h queda reescrita como la posición de un polo.

De vuelta a la primera pantalla

Cuando la tasa de decaimiento a bajó de 0, el área acumulada de |h|, que crecía sin detenerse, pasó a llegar al techo 1/|a| y detenerse. La existencia de ese techo, el hecho de que ∫|h| sea finita, es justamente la estabilidad. La causalidad salió gratis, porque h valía 0 durante todo t < 0. Las dos propiedades clave de un sistema LTI están escritas así en la forma de una sola respuesta al impulso: cuándo empieza y si su área es finita.

Las propiedades de un sistema LTI se leen directamente de su respuesta al impulso h. Causal ⟺ h(t) = 0 para t < 0 (ninguna reacción antes del impulso). BIBO estable ⟺ ∫|h(t)| dt < ∞ (absolutamente integrable), porque la salida nunca puede superar el tamaño máximo de la entrada por esta integral. La respuesta exponencial h = eᵃᵗu(t) siempre es causal y solo es estable cuando a < 0, lo que conduce a la posición del polo en el plano s (parte real < 0) del próximo capítulo.
Hacia la próxima unidad

Si la respuesta al impulso contiene todo sobre un sistema, ¿qué es esa respuesta integrada una vez? En la próxima unidad, la respuesta al escalón, entra como entrada el escalón unitario u(t), y compruebas que la salida es la integral acumulada de la respuesta al impulso. La respuesta al escalón de un sistema estable se asienta en un valor final finito, y ese valor final y la rapidez con que se asienta son las varas con que se juzga un sistema en la práctica. La finitud de ∫|h| que acabas de ver es justamente lo que garantiza ese asentamiento.