SC · LTI y convolución

Propiedades de los sistemas LTI

Las propiedades de un sistema LTI están escritas en la forma de su respuesta al impulso h. Lee la causalidad por cuándo empieza h, y la estabilidad por si el área total de su magnitud es finita. Mueve la tasa de decaimiento y cruza tú mismo la frontera entre estable e inestable.

¿El área acumulada llega a un techo?

Arriba está la respuesta causal h(t)=eᵃᵗ (t≥0). Abajo, el área de |h| acumulada desde la izquierda. Baja la tasa a hasta que esta área, en vez de crecer sin límite, alcance un techo finito. Ese techo es la estabilidad.

respuesta h(t)=eᵃᵗ

área |h| acumuladatecho 1/|a|

tasa de decaimiento a0.40

Área total y veredicto

∫ |h| dt = ∞

Con a > 0, h crece para siempre. El área de |h| diverge sin techo, así que ∫|h| = ∞. Una entrada diminuta puede disparar la salida: un sistema inestable.

Inestable

La causalidad es cuándo empieza h

El impulso llega en t=0. Un sistema causal no puede reaccionar antes, así que su respuesta debe ser 0 para t<0: h(t)=0, t<0. El h de aquí solo vive para t≥0, así que siempre es causal. Basta ver si la gráfica de h está en silencio a la izquierda de 0 para leer la causalidad de inmediato.

La estabilidad es el área total de |h|

La estabilidad BIBO significa que una entrada acotada siempre da salida acotada. La salida es la convolución de la entrada con h, así que el tamaño de la salida está acotado por el pico de la entrada por ∫|h(t)|dt. Por eso esa integral debe ser finita para la estabilidad. La condición es ∫|h(t)|dt < ∞: h debe ser absolutamente integrable.

Observah(t) = 0, t < 0

Causal: h es 0 para t<0.

Eligestable: ∫ |h(t)| dt ?

Estable: la integral absoluta es finita.

Completa∫₀^∞ eᵃᵗ dt = ?

Para a<0 la integral es −1/a = 1/|a|.

Por tu cuentastable ⟺ a ?

La respuesta exponencial es estable solo si a<0.

Léelo del signo del polo

Para h=eᵃᵗu(t), la integral ∫₀^∞ eᵃᵗ dt es finita solo cuando a<0, y entonces vale 1/|a|. Así que la condición de estabilidad es simplemente a<0. Esta a es la posición del polo en el plano s que verás el próximo capítulo, lo que lleva a la regla de que polos a la izquierda del eje imaginario (parte real < 0) significan estabilidad. La propiedad que leías de la forma de h se reescribe como la posición del polo.

De vuelta a la primera pantalla

Al bajar la tasa a por debajo de 0, el área acumulada de |h| pasó de subir sin parar a alcanzar el techo 1/|a| y detenerse. La existencia de ese techo —que ∫|h| sea finita— es justamente la estabilidad. La causalidad salió gratis, porque h fue 0 en todo t<0. Las dos propiedades clave de un sistema LTI quedan así escritas por completo en la forma de una respuesta al impulso: cuándo empieza y si su área es finita.

LTI 系统的性质直接从冲激响应 h 读出。因果 ⟺ h(t)=0, t<0(冲激前无响应)。BIBO 稳定 ⟺ ∫|h(t)|dt < ∞(绝对可积)，因为输出被输入峰值乘以此积分所界定。指数响应 h=eᵃᵗu(t) 始终因果，且仅当 a<0 时稳定，这通向下一章 s 平面上极点的位置(实部<0)。

Hacia la próxima unidad

Si la respuesta al impulso dice todo el sistema, ¿qué da integrar esa respuesta una vez? La próxima unidad, la respuesta al escalón, mete el escalón unitario u(t) como entrada y muestra que la salida es la integral acumulada de la respuesta al impulso. La respuesta al escalón de un sistema estable se asienta en un valor final finito, y ese valor y su velocidad de asentamiento son las varas prácticas del sistema. La finitud de ∫|h| que acabas de ver es justo lo que garantiza ese asentamiento.