SC · Fundamentos de señales

Operaciones sobre una señal

Desplaza, estira y voltea una señal a lo largo del eje temporal. Aprende cómo actúan estas tres operaciones sobre la variable independiente t, y por qué se leen de dentro hacia fuera.

Superpón la señal al objetivo con dos deslizadores

La curva tenue es la señal original x(t); la discontinua es el objetivo. Mueve la escala a y el desplazamiento b para que la transformada y(t) = x(at − b) caiga exactamente sobre el objetivo.

original xobjetivo

escala a1.00

desplazamiento b0.00

Transformación actual

y(t) = x(1.00 t − 0.00)

Tanto el inicio como el ancho difieren del objetivo. Debes fijar el ancho con a y el inicio con b a la vez.

Muy lejos

El desplazamiento mueve todo a izquierda o derecha

x(t − t₀) desliza toda la señal a la derecha en t₀. Es un menos pero va a la derecha porque el valor originalmente en t = 0 solo aparece cuando t = t₀: llega tarde (un retardo). A la inversa, x(t + t₀) la lleva a la izquierda, llegando antes.

El escalado comprime o dilata

En x(at), a > 1 hace que el tiempo corra más rápido y la señal se comprime, mientras 0 < a < 1 la dilata. El ancho pasa a 1/a. La clave: a actúa sobre el eje temporal pero el ancho resultante es su recíproco.

Observay(t) = x(t − t₀)

Menos t₀ es un desplazamiento a la derecha (retardo).

Eligey(t) = x(?)

a > 1 comprime; el ancho es 1/a.

Completay(t) = x(?)

Invertir el signo refleja de izquierda a derecha.

Por tu cuentay(t) = x(?)

Factoriza y lee de dentro afuera: desplaza, luego escala.

Reflexión y orden de lectura

x(−t) voltea la señal de izquierda a derecha. Cuando desplazamiento y escala vienen juntos, lee x(at − b) de dentro hacia fuera. Factorizar at − b = a(t − b/a) muestra que equivale a un desplazamiento de b/a primero y luego un escalado por a. El orden que sufre la t interna es el orden que sufre la señal.

De vuelta a la primera pantalla

Para superponer el objetivo tuviste que fijar el ancho con a y el inicio con b. El inicio de la señal transformada se movió a b/a y su ancho a 1/a. Esto es lo que significa leer x(at − b) de dentro hacia fuera: el orden en que la t interna se desplaza primero y se escala después es exactamente el orden en que la curva se movió en pantalla.

Las operaciones sobre la variable independiente mueven el eje temporal en sentido inverso. Un desplazamiento x(t − t₀) va a la derecha (retardo) si t₀ > 0 y a la izquierda si t₀ < 0. El escalado x(at) comprime si |a| > 1 y dilata si |a| < 1, con ancho 1/|a|. La reflexión x(−t) voltea de izquierda a derecha. La forma combinada x(at − b) = x(a(t − b/a)) se lee de dentro afuera: desplaza b/a primero, luego escala por a.

Hacia las próximas unidades

El desplazamiento y la reflexión se usan enseguida en el próximo capítulo. La convolución voltea la respuesta al impulso (reflexión) y la desliza (desplazamiento), sumando el área de solapamiento. El escalado reaparece en el muestreo y el escalado en frecuencia, donde tiempo y frecuencia se estiran y encogen como recíprocos. La próxima unidad, partes par/impar y energía frente a potencia, separa una señal por simetría y por tamaño.