SC · Fundamentos de señales

Operaciones sobre una señal

Aprende cómo actúan sobre la variable independiente t las tres operaciones que desplazan, estiran y voltean una señal a lo largo del eje del tiempo. El núcleo de esta unidad es en qué orden hay que leer x(at − b), con desplazamiento y escalado juntos, para que coincida con la figura.

Superpón la señal al objetivo con dos deslizadores

La curva gris tenue es la señal original x(t), que salta en t = 0 y luego se apaga de forma exponencial. La curva dorada discontinua es el objetivo, y al mover la escala a y el desplazamiento b la curva azul y(t) = x(at − b) cambia con ellos. Si pones la curva azul exactamente sobre el objetivo, se vuelve dorada; encontrar la a y la b de ese momento es la tarea de esta pantalla.

original xobjetivo

escala a1.00

desplazamiento b0.00

Transformación actual

y(t) = x(1.00 t)

Tanto el inicio como el ancho difieren del objetivo. La a fija el ancho y la b la posición de inicio, pero el inicio b/a depende de los dos tiradores a la vez, así que mover solo uno no basta.

Muy lejos

El desplazamiento mueve todo a izquierda o derecha

x(t − t₀) desplaza toda la señal a la derecha en t₀. La razón de que un signo menos la mueva a la derecha es que el valor original en t = 0 solo aparece cuando t = t₀. Es decir, la señal llega tarde, un retardo; a la inversa, x(t + t₀) tira de la señal hacia la izquierda para que llegue antes.

El escalado comprime o dilata

En x(at), si a > 1 el tiempo corre más rápido y la señal se comprime, si 0 < a < 1 se estira, y el ancho pasa a ser 1/a veces el original. Lo clave es que la cantidad que multiplica al eje del tiempo es a, mientras que el ancho resultante es su inverso. La señal original de esta unidad se apaga con una constante de tiempo de 1/1,4 ≈ 0,71, así que con a = 2 ese tiempo se reduce a la mitad, unos 0,36.

Observay(t) = x(t − t₀)

Restar t₀ desplaza a la derecha (un retardo).

Eligey(t) = x(?)

a > 1 comprime; el ancho es 1/a.

Completay(t) = x(?)

Invertir el signo refleja de izquierda a derecha.

Por tu cuentay(t) = x(?)

Comprimida por a y luego movida a la derecha en t₀.

Reflexión y orden de lectura

x(−t) voltea la señal de izquierda a derecha. Cuando desplazamiento y escalado vienen juntos hay que cuidar el orden: agrupando at − b = a(t − b/a) se ve que x(at − b) es la señal comprimida por a, como x(at), y luego movida a la derecha en b/a. El mismo resultado se obtiene desplazando primero en b y comprimiendo después por a, pero desplazar primero en b/a y comprimir después lleva el inicio a b/a², lo cual es un error. Por eso, en la figura, el inicio cayó en b/a y el ancho en 1/a.

De vuelta a la primera pantalla

Para poner la curva sobre el objetivo había que ajustar a y b a la vez, y en el momento en que coincidieron el inicio de la curva azul estaba en b/a = 1 y su ancho era 1/2 del original. Eso es lo que significa leer x(at − b) como una señal comprimida por a y luego movida en b/a. Los dos deslizadores se movían por separado, pero la pantalla mostró con claridad que el inicio lo fija su cociente b/a y el ancho lo fija solo a.

Las operaciones sobre la variable independiente mueven el eje del tiempo en sentido contrario. Un desplazamiento temporal x(t − t₀) mueve la señal a la derecha (retardo) si t₀ > 0 y a la izquierda si t₀ < 0. El escalado temporal x(at) comprime si |a| > 1 y estira si |a| < 1, y el ancho pasa a ser 1/|a| veces el original. La reflexión x(−t) voltea izquierda y derecha. La forma combinada x(at − b) = x(a(t − b/a)) se lee como comprimir por a y luego desplazar en b/a, o como desplazar en b y luego comprimir por a.

Hacia las próximas unidades

El desplazamiento y la reflexión se usan enseguida en el próximo capítulo. La convolución es la operación que voltea la respuesta al impulso (reflexión), la desliza (desplazamiento) y suma el área que se solapa. El escalado temporal reaparece en el muestreo y en el escalado en frecuencia, donde tiempo y frecuencia se estiran y encogen como inversos uno del otro. La próxima unidad, partes par e impar de una señal, separa una señal por su simetría y, de paso, mide su tamaño como energía y potencia.