El aliasing
Frecuencias que se pliegan en el espejo
La tasa de muestreo fs es fija; el deslizador sube la frecuencia verdadera f de la señal. Arriba está el eje del tiempo. En cuanto f pasa la frecuencia de plegado fs/2, un impostor más lento (rojo) pasa por las mismas muestras que la señal verdadera rápida (dorada). La frecuencia de ese impostor es la que ves. Abajo está el mapa de plegado. Al subir f, la frecuencia aparente sube hasta fs/2, vuelve a bajar y sube de nuevo, en zigzag. Manten f por debajo de fs/2 y lo que ves es igual a la verdad.
Las frecuencias se pliegan en el espejo
Una vez muestreada, esa oscilación se explica igual de bien con la sinusoide verdadera en f, o con sinusoides en fs−f, fs+f, 2fs−f y otras infinitas. Las muestras no las distinguen. Una persona ve la más baja de ellas, la que cae por debajo de fs/2. Así que al subir la frecuencia verdadera f desde 0, la aparente sube recto hasta fs/2, luego usa fs/2 como espejo para bajar de nuevo a 0, y vuelve a subir en fs, una y otra vez. La aparente es la onda triangular |f − fs·round(f/fs)|. El mapa de plegado de la primera pantalla es justo esa onda triangular.
El plegado en ruedas, fotos y sonido
El aliasing muestra la misma cara dondequiera que haya muestreo. Una cámara de cine toma 24 cuadros por segundo (fs=24), así que los radios que giran más rápido se pliegan y parecen girar despacio o al revés. El sensor de una cámara digital muestrea la luz al paso de los píxeles, así que una ropa de rayas o una rejilla más fina se pliega en ondas anchas: el muaré. Cuando el audio se muestrea a fs, el sonido por encima de fs/2 se pliega a un tono equivocado y crea un ruido metálico molesto. Los tres son el mismo efecto en el mismo espejo, fs/2.
El filtro que guarda el espejo
Como un fantasma plegado produce exactamente las mismas muestras que la verdad, una vez muestreado los dos nunca pueden volver a separarse. Así que hay que detenerlo antes de que se pliegue. Por eso, justo antes de muestrear, se coloca un filtro pasa-bajos que recorta de antemano todo componente por encima de fs/2. Es el filtro anti-aliasing. Quita, delante del espejo, lo que se reflejaría en él, eliminando las propias frecuencias que se plegarían. El cine lo hace con el desenfoque de movimiento que difumina el movimiento mientras el obturador está abierto; una cámara con un filtro óptico pasa-bajos ante el sensor; el audio con un filtro analógico antes del ADC. Muestrear lo bastante rápido, o cuando no se puede, descartar primero todo lo que esté por encima de fs/2: estas dos son las únicas formas de detener el aliasing.
De vuelta a la primera pantalla
Manteniendo fija la tasa de muestreo fs, subiste solo la frecuencia verdadera f. Mientras f estaba por debajo de la frecuencia de plegado fs/2, la aparente coincidía con la verdad, pero en el instante en que cruzó fs/2 rebotó en el espejo y bajó de nuevo. Un impostor más lento pasaba por las mismas muestras que la señal verdadera rápida, y las muestras solas no podían separarlos. Sube más f y la aparente solo trazaba una onda triangular entre 0 y fs/2. Una rueda girando al revés, ondas en una foto, un sonido que pierde su tono: todo ocurría en este único espejo. Cruzar o no por encima de fs/2 fue lo que separó la verdad de la ilusión en lo que ves.
Hasta ahora hemos visto las muestras solo como puntos en el tiempo. Ahora necesitamos una herramienta que trate la secuencia misma de esos puntos como una variable. La próxima unidad, la transformada z, es la transformada de Laplace de una señal discreta. Empaquetando un retardo de un paso en el símbolo z⁻¹, convierte señales discretas y ecuaciones en diferencias en álgebra en z. Igual que el plano s y sus polos fijaban la respuesta en tiempo continuo, el plano z y los polos en él hacen lo mismo en tiempo discreto. Solo que ahora la frontera de la estabilidad no es el eje imaginario sino el círculo unitario, y ese cambio es justo el resultado de que el muestreo enrolla el plano s sobre el plano z.