El aliasing

Frecuencias que se pliegan en el espejo

La tasa de muestreo está fija en fs = 8 y el deslizador cambia la frecuencia f de la señal real. La gráfica de arriba es el eje del tiempo. Cuando f supera la frecuencia de plegado fs/2 = 4, una señal falsa más lenta (roja punteada) pasa exactamente por las mismas muestras que la señal real rápida (dorada), y la frecuencia de esa falsa es la frecuencia aparente. Con la f = 6 inicial, la frecuencia aparente es 2. La gráfica de abajo es el mapa de plegado: el eje horizontal es la frecuencia real, el vertical la frecuencia aparente y el punto rojo tu posición actual. Al subir f, la frecuencia aparente sube hasta 4, vuelve a bajar hasta 0 en f = 8 y sube otra vez, repitiendo un zigzag. Solo en la franja verde f < 4 la frecuencia aparente coincide con la real.

Las frecuencias se pliegan en el espejo

Vistas por sí solas, las muestras se explican igual de bien con una senoidal de la frecuencia real f que con un sinnúmero de otras senoidales, como fs − f, fs + f o 2fs − f. Las muestras no pueden distinguirlas, y al reconstruir se elige la de frecuencia más baja, la que cae entre 0 y fs/2. Por eso, al subir la frecuencia real f desde 0, la frecuencia aparente sube en línea recta hasta fs/2, rebota con fs/2 como espejo y baja hasta 0 en fs, y luego vuelve a subir, una y otra vez. Como fórmula, frecuencia aparente = |f − fs·round(f/fs)|, una onda triangular, y el mapa de plegado de la primera pantalla es justamente esa onda triangular.

El plegado en ruedas, fotos y sonido

El aliasing aparece con la misma cara dondequiera que haya muestreo. Una cámara de cine toma 24 fotogramas por segundo (fs = 24), así que cuando los rayos de una rueda pasan por un mismo punto más de 12 veces por segundo (fs/2), el movimiento se pliega y la rueda parece girar despacio o incluso hacia atrás. El sensor de una cámara digital muestrea la luz con la separación de los píxeles, de modo que la ropa a rayas o las rejillas más finas que eso se pliegan en anchos patrones ondulados (muaré). Cuando el audio se muestrea a fs, los sonidos por encima de fs/2 entran plegados con un tono equivocado y se vuelven un ruido molesto. Los tres son el mismo fenómeno, que ocurre en el mismo espejo, fs/2.

El filtro que guarda el espejo

Una falsa ya plegada produce exactamente las mismas muestras que la señal real, así que después de muestrear no hay forma de volver a separarlas. Hay que detenerla antes de que se pliegue, y por eso justo antes de muestrear se coloca un filtro pasa bajos que recorta de antemano todo lo que está por encima de fs/2: el filtro antialiasing. Es como retirar, delante del espejo, lo que se iba a reflejar, de modo que las frecuencias que entrarían plegadas ni siquiera existan. En el cine hace ese trabajo el desenfoque de movimiento, que difumina lo que se mueve mientras el obturador está abierto; en las cámaras, un filtro óptico pasa bajos delante del sensor; en el audio, un filtro analógico antes del ADC. Subir lo suficiente la tasa de muestreo o, si no se puede, desechar primero todo lo que está por encima de fs/2: esos son los dos caminos para evitar el aliasing.

De vuelta a la primera pantalla

En la primera pantalla, la tasa de muestreo quedó fija en fs = 8 y solo se subió la frecuencia real f. Mientras f estaba por debajo de la frecuencia de plegado 4, la frecuencia aparente coincidía con la real, pero en cuanto pasó de 4 rebotó en el espejo y la frecuencia aparente volvió a bajar. Una falsa más lenta pasaba exactamente por las mismas muestras que la señal real rápida, y con las muestras solas no se podían distinguir. Aunque subieras más f, la frecuencia aparente solo iba y venía entre 0 y 4 como una onda triangular. Las ruedas que giran hacia atrás, las ondas en las fotos y los sonidos que pierden su tono ocurren todos en este único espejo. Que la frecuencia real pasara o no de fs/2 decidía si lo que veías era la verdad o una ilusión.

Hasta ahora has visto las muestras solo como puntos en el tiempo. Ahora hace falta una herramienta que trate la secuencia de esos puntos como un solo objeto. La siguiente unidad, La transformada z, es la transformada de Laplace para señales discretas. Reúne un retardo de un paso en el símbolo z⁻¹ y convierte las señales discretas y las ecuaciones en diferencias en álgebra en z. Así como en tiempo continuo el plano s y sus polos fijaban la respuesta, en tiempo discreto el plano z y los polos que hay en él hacen el mismo trabajo, solo que el límite de la estabilidad pasa a ser el círculo unitario en lugar del eje imaginario. Esa diferencia es el resultado de que el muestreo enrolla el plano s sobre el plano z mediante z = e^sT.