El lugar de las raíces

Sube K para llevar los polos a la línea de amortiguamiento objetivo

Es la misma planta que en la unidad F1, K/(s(s + 1)(s + 2)). En la gráfica de arriba, los tres puntos grises (0, −1, −2) son los polos en lazo abierto, los puntos de partida con K = 0; la línea azul es el lugar de las raíces que trazan los polos en lazo cerrado, y las × doradas son los tres polos con la ganancia K actual. La línea naranja punteada es la de razón de amortiguamiento ζ = 0,5, que forma 60° con el eje real negativo. Con la K = 0,3 inicial, los tres polos están sobre el eje real, sobreamortiguados; al subir K, los dos polos que partieron de 0 y −1 se encuentran en un punto de ruptura cerca de −0,42 (K ≈ 0,385) y luego se separan en un par complejo que se curva hacia arriba y hacia abajo. Ese par complejo llega a la línea naranja con K ≈ 1,04, y si sigues subiendo K, cruza el eje imaginario en K = 6 y el sistema se vuelve inestable.

El camino que trazan los polos

Los polos en lazo cerrado de un sistema con realimentación unitaria son las raíces de 1 + K·G(s) = 0, donde G(s) = N(s)/D(s) es la función de transferencia en lazo abierto. Reordenada queda D(s) + K·N(s) = 0, así que las raíces cambian cada vez que cambia la ganancia K. Con K = 0, D(s) = 0, de modo que los polos en lazo cerrado parten de los polos en lazo abierto; cuando K tiende a infinito, domina N(s) = 0 y los polos se reúnen en los ceros en lazo abierto. Si faltan ceros, las ramas sobrantes se extienden hacia el infinito. El conjunto de trazos que dibujan las raíces cuando K barre de 0 a infinito es el lugar de las raíces.

Cómo leer el camino

Con unas pocas reglas, el lugar de las raíces se puede esbozar a mano. Sobre el eje real, solo hay lugar en los tramos donde el número de polos y ceros en lazo abierto a la derecha del punto es impar; en este ejemplo, entre 0 y −1, y a la izquierda de −2. Las dos ramas que parten de 0 y −1 se acercan entre sí, se encuentran en el punto de ruptura (cerca de −0,42) y dejan el eje real como un par complejo. Como no hay ceros, las tres ramas van al infinito, a lo largo de asíntotas que parten de −1 en el eje real y forman ±60° y 180° con el eje real. Si las ramas complejas cruzan el eje imaginario con cierta K, a partir de ahí el sistema es inestable, y esa ganancia y esa frecuencia de cruce son exactamente las K = 6, s = ±j√2 halladas con el criterio de Routh en la unidad F1. El lugar de las raíces y Routh señalan el mismo límite.

Colocar polos para diseñar la respuesta

El verdadero uso del lugar de las raíces es el diseño. Como mostró la unidad D5, la respuesta transitoria de un sistema de segundo orden la fija la posición de los polos dominantes, es decir, la razón de amortiguamiento ζ y la frecuencia natural ωn. Una recta que pasa por el origen del plano s representa un ζ constante: el coseno del ángulo que forma con el eje real negativo es ζ. Así que trazas la recta del ζ que quieres y buscas dónde corta el lugar de las raíces; la ganancia K que pone los polos en ese punto es el valor de diseño, y eso es justo lo que hiciste en la primera pantalla. Como en este sistema se mueve también un tercer polo, hay que comprobar que quede lo bastante a la izquierda para que los polos complejos dominantes manden en la respuesta (con K ≈ 1,04, el tercer polo en −2,33 está unas 7 veces más a la izquierda que la parte real de los polos complejos, −0,33). Si la ganancia proporcional sola no basta, los compensadores que vendrán después doblan el propio lugar hasta la forma deseada.

De vuelta a la primera pantalla

En la primera pantalla seguiste el camino que trazan sobre el plano s los polos en lazo cerrado de la misma planta de la unidad F1 mientras crece la ganancia K. Con K pequeña los polos estaban dispersos sobre el eje real, sobreamortiguados; al subir K, dos polos se encontraron en el punto de ruptura y se separaron en un par complejo que se curvó hacia arriba y hacia abajo. Al poner ese par complejo sobre la línea naranja de ζ = 0,5 salió una ganancia de diseño que equilibra rapidez y sobreimpulso. Al subirla más, los polos cruzaron el eje imaginario en K = 6 y el sistema se volvió inestable, justo el límite que la unidad F1 halló con Routh. Si Routh fijó con números un punto del límite de estabilidad, el lugar de las raíces desplegó el camino completo que traza la ganancia, de modo que pudiste diseñar no solo la estabilidad sino también la forma de la respuesta.

El lugar de las raíces fue una herramienta de diseño que coloca los polos directamente en el plano s. En los sistemas reales, sin embargo, a menudo no se conoce la función de transferencia exacta, así que en su lugar se aplican senoidales de distintas frecuencias y se mide la respuesta en frecuencia. La siguiente unidad, Márgenes de ganancia y fase, lee sobre el diagrama de Bode en lazo abierto de la misma planta cuánto le falta a un sistema estable para volverse inestable, en forma de dos márgenes. En la frecuencia donde la fase llega a −180°, √2 rad/s, lo que le queda a la ganancia hasta 0 dB es el margen de ganancia, y como ese margen se hace 0 en K = 6, es el mismo punto donde el lugar de las raíces cruza el eje imaginario. El límite que el lugar de las raíces mostró con la posición de los polos vuelve a aparecer, sobre el eje de frecuencias, en el diagrama de Bode.