El lugar de las raíces

Sube K para llevar los polos a la línea de amortiguamiento objetivo

Es la misma planta K/(s(s+1)(s+2)) que en F1. Las curvas azules son el lugar de las raíces que trazan los polos de lazo cerrado, y las marcas × doradas son los polos en la ganancia K actual. La línea discontinua ámbar es el factor de amortiguamiento objetivo ζ = 0.5. Cuando K es pequeño los polos están repartidos por el eje real, sobreamortiguados. Al crecer K, dos polos se encuentran en el eje real y se separan (el punto de ruptura), curvándose arriba y abajo en un par complejo. Lleva ese polo complejo justo sobre la línea ámbar ζ = 0.5. Súbelo más y en K = 6 los polos cruzan el eje imaginario hacia la inestabilidad.

El camino que trazan los polos

Los polos de lazo cerrado de un sistema de realimentación unitaria son las raíces de 1 + K·G(s) = 0, donde G(s) = N(s)/D(s) es la función de transferencia de lazo abierto. Reordenado, es D(s) + K·N(s) = 0, así que las raíces cambian al variar la ganancia K. En K = 0 es D(s) = 0, así que los polos de lazo cerrado parten de los polos de lazo abierto. Cuando K va a infinito, domina N(s) = 0 y los polos convergen a los ceros de lazo abierto. Cuando no hay suficientes ceros, las ramas sobrantes se van al infinito. Todo el rastro que trazan las raíces al barrer K de cero a infinito es el lugar de las raíces.

Cómo leer el camino

El lugar de las raíces se bosqueja a mano con unas pocas reglas. En el eje real, el lugar existe solo donde el número de polos y ceros de lazo abierto a la derecha de un punto es impar; en este ejemplo eso es entre 0 y −1, y a la izquierda de −2. Las dos ramas que parten de 0 y −1 se acercan, se encuentran en el punto de ruptura, dejan el eje real y se vuelven un par complejo. Sin ceros, las tres ramas van al infinito, por asíntotas que forman ±60° y 180° con el eje real. Y en cierta ganancia la rama compleja cruza el eje imaginario; desde ahí es inestable. Esa ganancia y frecuencia de cruce eran exactamente K = 6, s = ±j√2 del criterio de Routh de F1. El lugar de las raíces y Routh señalan la misma frontera.

Colocar polos para diseñar la respuesta

El verdadero uso del lugar de las raíces es el diseño. Como vimos en D5, un transitorio de segundo orden lo fija la posición del polo dominante, es decir el factor de amortiguamiento ζ y la frecuencia natural ωn. Una recta por el origen en el plano s significa un ζ constante (el coseno de su ángulo con el eje real es ζ). Así que dibujas la recta del ζ que quieres, hallas dónde corta al lugar de las raíces, y la ganancia K que produce ese punto es tu valor de diseño. Es exactamente lo que te hizo hacer la primera pantalla. Pero un tercer polo, invisible, también se mueve, así que para que el par complejo dominante lidere la respuesta también compruebas que el tercer polo esté bastante a la izquierda. Cuando la ganancia proporcional sola no basta, los compensadores que vienen doblan el propio lugar a la forma que quieres.

De vuelta a la primera pantalla

Seguimos el camino que los polos de lazo cerrado de la misma planta que F1 trazan en el plano s al crecer la ganancia K. Cuando K era pequeño los polos estaban repartidos por el eje real, sobreamortiguados; subir K hizo que dos polos se encontraran en el punto de ruptura y se separaran en un par complejo, curvándose arriba y abajo. Llevar ese polo complejo a la línea ámbar ζ = 0.5 dio la ganancia de diseño que equilibra velocidad y sobrepaso. Subirla más llevó los polos a través del eje imaginario en K = 6 a la inestabilidad, justo la frontera que dio Routh en F1. Donde Routh nos entregó un único punto de frontera como número, el lugar de las raíces mostró todo el camino que traza la ganancia, dejándonos diseñar no solo la estabilidad sino la forma de la respuesta.

El lugar de las raíces es una herramienta de diseño en el dominio del tiempo que coloca polos directamente en el plano s. Pero los sistemas reales a menudo tienen una función de transferencia exacta desconocida, y en su lugar los excitas con ondas senoidales de muchas frecuencias y mides la respuesta. La próxima unidad, el diagrama de Bode, dibuja la ganancia y la fase frente a la frecuencia como una suma de rectas en ejes logarítmicos. Cada polo y cero aparece como un quiebre de la línea quebrada, así que puedes bosquejar a mano la respuesta en frecuencia de una función de transferencia complicada y también leerla a la inversa desde datos medidos. Donde el lugar de las raíces veía la respuesta mediante posiciones de polos, el diagrama de Bode ve el mismo sistema mediante la frecuencia.