Error de estado estacionario

El tipo y la entrada deciden el error

La curva dorada es el error de seguimiento e(t) = r(t) − y(t) de t = 0 a 12, la diferencia entre la entrada objetivo y la salida en lazo cerrado, y la línea punteada es el valor de estado estacionario que ese error alcanza con el tiempo. La entrada se elige entre escalón (constante), rampa (recta) y parábola (acelerada), y el tipo de sistema entre tipo 0, tipo 1 y tipo 2 (el número de polos que el lazo abierto tiene en el origen); la curva se pone verde cuando el error va a 0 y roja cuando crece sin fin. Empiezas con entrada en rampa, tipo 1 y K = 2, así que el error se detiene en 2/K = 1. Cuando el tipo de sistema es al menos un paso mayor que la entrada, el error se hunde hasta 0; cuando son exactamente iguales, se detiene en una constante distinta de 0 (subir K la reduce, pero nunca llega a 0); y cuando el tipo es menor, crece sin fin. El sistema de tipo 1 K/(s(s + 1)(s + 2)) es justamente la planta usada a lo largo de las unidades F1 ~ F6, y como este deslizador solo llega a K = 5, la inestabilidad de K = 6 no aparece.

Lee el error con el teorema del valor final

El error de estado estacionario sale limpiamente del teorema del valor final. Con realimentación unitaria, la transformada de Laplace del error es E(s) = R(s)/(1 + L(s)), y su valor tras un tiempo infinito es e_ss = lim_{t→∞} e(t) = lim_{s→0} s·E(s) = lim_{s→0} s·R(s)/(1 + L(s)). La entrada escalón es R = 1/s, la rampa R = 1/s² y la parábola R = 1/s³, así que s·R vale 1, 1/s y 1/s², respectivamente. El error depende entonces de cuánto crece 1 + L(s) cuando s → 0, y si L(s) tiene un polo en el origen, L tiende a infinito cuando s → 0 y el error se vuelve 0. En definitiva, la capacidad de llevar el error a 0 viene de los polos que L tiene en el origen, es decir, del número de integradores. Eso sí, el teorema solo se puede usar cuando el lazo cerrado es estable.

Las tres constantes de error y la tabla de tipos

La magnitud que gobierna el error para cada entrada recibe un nombre: la constante de error. A la entrada escalón le corresponde la constante de error de posición K_p = lim_{s→0} L(s), a la rampa la constante de error de velocidad K_v = lim_{s→0} s·L(s) y a la parábola la constante de error de aceleración K_a = lim_{s→0} s²·L(s), y el error queda como 1/(1 + K_p) para el escalón, 1/K_v para la rampa y 1/K_a para la parábola. El tipo de sistema decide de una vez si estas constantes son finitas o infinitas. El tipo 0 solo tiene K_p finita, con K_v y K_a iguales a 0, así que deja un error finito ante el escalón y uno infinito ante la rampa y la parábola. El tipo 1 tiene K_p infinita (error 0 ante escalón), K_v finita (error finito ante rampa) y K_a igual a 0 (error infinito ante parábola), y el tipo 2 tiene K_p y K_v infinitas (error 0 ante escalón y rampa) y K_a finita (error finito ante parábola). Esta tabla de 3 × 3 es todo lo que hay en el error de estado estacionario, y la casilla de la primera pantalla muestra las tres constantes del sistema elegido.

Dos mandos para reducir el error, y el precio

Hay dos caminos para reducir el error de estado estacionario. Uno es subir el tipo de sistema, es decir, añadir un integrador al controlador para sumar un polo en el origen, lo que lleva por completo a 0 el error de esa entrada (el término integral de la unidad F5). El otro es agrandar la constante de error, ya sea subiendo la ganancia o, como la compensación de retardo de la unidad F6, colocando un polo cerca del origen para elevar la ganancia en baja frecuencia; esto solo reduce un error finito y no puede eliminarlo. Ninguno de los dos caminos sale gratis. Un polo en el origen retrasa la fase 90° y recorta el margen de fase, lo que empuja el sistema hacia la inestabilidad (la pérdida de fase vista en las unidades F3 y F6), y al subir la ganancia el lazo cerrado se vuelve inestable en cuanto pasa cierta línea. El límite de las unidades F1 ~ F4, donde la planta de tipo 1 K/(s(s + 1)(s + 2)) se volvía inestable en K = 6, sigue vigente aquí. Por eso el diseño real es un tira y afloja entre exactitud en estado estacionario, estabilidad y rapidez de respuesta, y los integradores se añaden solo en la medida necesaria, compensando la fase con compensación de adelanto.

De vuelta a la primera pantalla

En la primera pantalla mostraste directamente el error de seguimiento e(t) y examinaste su valor final mientras cambiabas la entrada y el tipo de sistema. Cuando el tipo era mayor que el orden de la entrada, el error desaparecía hasta 0; cuando eran iguales, se detenía en un valor finito como 1/(1 + K_p), 1/K_v o 1/K_a; y cuando el tipo era menor, se abría sin fin. Todos los casos salían de un único teorema del valor final, e_ss = lim_{s→0} s·R/(1 + L), y cuánto agrandaba 1 + L el número de polos en el origen decidía si el error llegaba a 0. La ganancia K solo cambiaba el tamaño de un error finito y no podía saltar el muro del orden. El término integral de la unidad F5 borró el error subiendo una casilla el tipo de sistema en esta tabla, y la compensación de retardo de la unidad F6 lo redujo agrandando la constante de error dentro de la misma casilla.

Con esto, el capítulo de control ha dado una vuelta completa. Juzgaste la estabilidad con el criterio de Routh (F1), seguiste el camino de los polos con el lugar de las raíces (F2), mediste la distancia con los dos márgenes del diagrama de Bode (F3), viste si se rodea −1 con el diagrama de Nyquist (F4), diste forma a la respuesta con el PID (F5), moldeaste la fase con la compensación de adelanto y retardo (F6) y ahora leíste los límites del seguimiento con el error de estado estacionario (F7). Tres objetivos, la estabilidad, la rapidez de respuesta y la exactitud en estado estacionario, tirando unos de otros y atados en un solo diseño: esa es la columna vertebral del control clásico. Más allá esperan el espacio de estados, que maneja muchas entradas y salidas a la vez, la asignación de polos, que coloca los polos donde se quiera, el control digital, que controla con señales muestreadas, y el control óptimo, que minimiza un costo. Todos esos caminos se construyen también sobre el lenguaje de polos, ceros, márgenes y errores visto en este capítulo.