Error de estado estacionario

El tipo y la entrada deciden el error

La curva dorada es el error de seguimiento e(t) = r(t) − y(t), la diferencia entre la entrada objetivo y la salida en lazo cerrado. La línea discontinua es el valor de estado estacionario que ese error alcanza con el tiempo. Elige la entrada entre escalón (constante), rampa (una recta) y parábola (acelerando); elige el tipo de sistema entre tipo 0, 1, 2 (el número de polos que el lazo abierto tiene en el origen). La ganancia K fija el tamaño de cualquier error finito. Cuando el tipo de sistema es al menos un paso mayor que la entrada, el error se hunde a cero (seguimiento perfecto); cuando son exactamente iguales, se detiene en una constante no nula (puedes reducirla subiendo K, pero nunca hacerla cero); cuando el tipo es menor, el error crece sin fin (el seguimiento falla). El sistema de tipo 1 K/(s(s+1)(s+2)) es justamente la planta que usamos a lo largo de F1 a F6.

Lee el error con el teorema del valor final

El error de estado estacionario sale limpio del teorema del valor final. En realimentación unitaria la transformada de Laplace del error es E(s) = R(s)/(1+L(s)), y su valor tras tiempo infinito es e_ss = lim_{t→∞} e(t) = lim_{s→0} s·E(s) = lim_{s→0} s·R(s)/(1+L(s)). Una entrada escalón es R = 1/s, una rampa R = 1/s², una parábola R = 1/s³, así que s·R es 1, 1/s, 1/s² respectivamente. El error depende entonces de cuán grande es 1+L(s) cuando s→0, y si L(s) tiene un polo en el origen, L se dispara cuando s→0 y el error va a cero. Al final, la fuerza que lleva el error a cero son los polos que L tiene en el origen, el número de integradores.

Las tres constantes de error y la tabla de tipos

Dar nombre a la cantidad que gobierna el error para cada entrada da las constantes de error. Una entrada escalón corresponde a la constante de error de posición K_p = lim_{s→0} L(s), una rampa a la constante de error de velocidad K_v = lim_{s→0} s·L(s), y una parábola a la constante de error de aceleración K_a = lim_{s→0} s²·L(s). El error se ordena entonces en 1/(1+K_p) para un escalón, 1/K_v para una rampa y 1/K_a para una parábola. El tipo de sistema decide, de una vez, si estas constantes son finitas o infinitas. El tipo 0 tiene solo K_p finita mientras K_v y K_a son cero, así que error finito ante un escalón pero infinito ante rampa y parábola. El tipo 1 tiene K_p infinita (error de escalón cero), K_v finita (error de rampa finito) y K_a cero (parábola infinita). El tipo 2 tiene K_p y K_v infinitas (error de escalón y rampa cero) y K_a finita (error de parábola finito). Esta tabla de 3 × 3 es todo el error de estado estacionario.

Dos mandos para reducir el error, y el precio

Hay dos formas de reducir el error de estado estacionario. Una es subir el tipo de sistema, es decir añadir un integrador en el controlador y por tanto un polo en el origen. Esto lleva el error de esa entrada hasta cero; el término integral de F5 y el compensador de retardo de F6 hicieron justo esto. La otra es subir la ganancia y por tanto la constante de error, lo que solo encoge un error finito sin eliminarlo. Ninguna de las dos es gratis. Un polo en el origen retrasa la fase en 90° y se come el margen de fase, empujando el sistema hacia la inestabilidad (la misma pérdida de fase que vimos en F3 y F6), y subir la ganancia, como vimos en F1 a F4, manda el lazo cerrado directo a la inestabilidad. La frontera donde la planta de tipo 1 K/(s(s+1)(s+2)) se vuelve inestable en K=6 sigue viva aquí. Así que el diseño real es un tira y afloja entre la precisión de estado estacionario y la estabilidad y la velocidad, y se añaden integradores solo cuantos hagan falta de verdad, rellenando la fase con compensación de adelanto sobre la marcha.

De vuelta a la primera pantalla

Con el error de seguimiento e(t) en la pantalla, cambiamos la entrada y el tipo de sistema y observamos su valor final. Cuando el tipo de sistema era mayor que el orden de la entrada el error se desvanecía a cero; cuando eran iguales se detenía en un valor finito como 1/(1+K_p), 1/K_v o 1/K_a; cuando era menor se disparaba sin límite. Cada uno de estos casos salió del único teorema del valor final e_ss = lim_{s→0} s·R/(1+L), y cuánto disparan 1+L los polos en el origen decidió si el error iba a cero. La ganancia K solo cambió el tamaño de un error finito, sin romper nunca el muro del orden. El término integral de F5 y el compensador de retardo de F6 fueron, al final, el acto de subir un paso esta tabla para borrar el error.

Con esto, una vuelta completa del capítulo de control queda hecha. Juzgamos la estabilidad con Routh (F1), seguimos el camino de los polos con el lugar de las raíces (F2), medimos la distancia con los dos márgenes del Bode (F3), miramos el rodeo de −1 con Nyquist (F4), moldeamos la respuesta con PID (F5), dimos forma a la fase con compensación de adelanto-retardo (F6), y ahora leímos los límites del seguimiento con el error de estado estacionario (F7). Que los tres objetivos de estabilidad, velocidad de respuesta y precisión de estado estacionario tiren unos de otros y queden atados en un solo diseño es todo el control clásico. Yendo más allá desde aquí, te esperan el espacio de estados que maneja muchas entradas y salidas a la vez y la ubicación de polos que pone los polos donde quieres, el control digital que controla a partir de señales muestreadas, y el control óptimo que minimiza un coste. Pero cada uno de esos caminos, también, se construye sobre el lenguaje de polos, ceros, márgenes y error que hemos visto en este capítulo.