Sistemas LTI discretos
Recorta el ruido con la respuesta al impulso
Arriba está la respuesta al impulso de este filtro digital, h[n] = (1−α)αⁿ. Mete un solo impulso δ[n] y sale exactamente esta forma. Abajo, la línea tenue es la entrada ruidosa x[n] (un escalón más ruido) y los tallos dorados son su salida y[n]. La salida es la convolución discreta: h[n] deslizado sobre la entrada, multiplicado y sumado. Sube la intensidad de suavizado α para alargar la cola de h[n], promediando más vecinos y recortando el ruido. Pero si te pasas, el borde del escalón se difumina.
La respuesta al impulso es todo el sistema
Un sistema LTI discreto es lineal (suma las entradas y las salidas se suman) e invariante en el tiempo (retrasa la entrada y la salida se retrasa lo mismo). Tal sistema queda completamente determinado por una sola respuesta al impulso h[n]: la salida cuando metes un impulso δ[n] (1 en n=0, cero en lo demás). ¿Por qué basta con esto? Porque cualquier entrada x[n] se puede descomponer en una suma de impulsos, Σ x[k]·δ[n−k]. Por linealidad e invariancia temporal, la salida de cada impulso x[k]δ[n−k] es x[k]·h[n−k], y sumándolas todas se obtiene la salida completa.
La salida es una suma ponderada deslizante
Esa suma, y[n] = Σₖ h[k]·x[n−k], es la convolución discreta. En cada tiempo de salida n, invierte la respuesta al impulso h en el tiempo, ponla sobre la entrada en la posición n, multiplica las muestras solapadas y súmalas todas. Luego avanza un paso para la siguiente salida. Es la convolución continua del capítulo B con la integral ∫ vuelta una suma Σ y las curvas vueltas muestras — el principio es el mismo. Un h[n] corto mezcla solo unos pocos puntos cercanos; uno largo alcanza más atrás en el pasado. Un h suave y promediador es un pasa-bajos que recorta ruido; uno de diferencias es un pasa-altos que magnifica el cambio.
FIR e IIR, y la ecuación en diferencias
Si la respuesta al impulso termina tras una longitud finita, es un filtro FIR (respuesta al impulso finita). Una media móvil de longitud M, h[n] = 1/M para n=0..M−1, es el ejemplo clásico; solo pondera muestras de entrada, así que siempre es estable. Si en cambio el sistema realimenta salidas pasadas en una recursión, la respuesta al impulso sigue para siempre, un IIR (respuesta al impulso infinita). El filtro de la primera pantalla y[n] = α·y[n−1] + (1−α)·x[n] es uno: su respuesta al impulso es h[n] = (1−α)αⁿ, una cola que nunca termina del todo. Esa recursión es una ecuación en diferencias, y al transformarla por z como en E3 da H(z) = (1−α)/(1 − α z⁻¹), un polo en z = α. El polo debe estar dentro del círculo unitario (α<1) para que la respuesta al impulso decaiga y el filtro sea estable. Un IIR hace una respuesta larga con pocos coeficientes — eficiente —, pero puede diverger si un polo sale del círculo.
De vuelta a la primera pantalla
La única respuesta al impulso h[n] = (1−α)αⁿ vista arriba era todo el filtro. Subir la intensidad α para alargar la cola de h[n] hizo que la convolución discreta promediara más vecinos y recortara el ruido de la salida; pasarse difuminó el borde del escalón. La salida fue siempre y[n] = Σₖ h[k]x[n−k], una suma ponderada de h deslizado sobre la entrada. Conoce solo la respuesta a un impulso y podrás deslizarla para producir la salida de cualquier entrada. Todo sobre un sistema LTI discreto estaba contenido en ese pequeño h[n].
Vimos el resultado de filtrar por convolución en el tiempo, pero aún no hemos visto, en números, qué frecuencias conserva exactamente este filtro y cuáles elimina. La próxima unidad, la DTFT y la DFT, despliega la respuesta al impulso sobre la frecuencia. Evaluar la respuesta al impulso en el círculo unitario en z = ejω es la DTFT, la respuesta en frecuencia de un sistema discreto. La DTFT de un h promediador sale pasa-bajos, encogiéndose en ω altas. Y muestrear la DTFT infinita en un número finito de frecuencias para que una computadora pueda calcularla es la DFT, cuyo algoritmo rápido es la FFT. La convolución vuelve a ser multiplicación, ahora en el dominio de la frecuencia.