Sistemas LTI discretos
Recorta el ruido con la respuesta al impulso
La gráfica de arriba dibuja con barras, de n = 0 a 20, la respuesta al impulso de este filtro digital, h[n] = (1 − α)αⁿ; si aplicas un solo impulso δ[n], sale exactamente esta forma. En la gráfica de abajo, la línea tenue es la entrada x[n], un escalón que sube de 0 a 1 en n = 10 con ruido mezclado, y las barras doradas son la salida y[n]. La salida es la convolución discreta: h[n] deslizada sobre la entrada, multiplicando y sumando. Con la α = 0,2 inicial, la cola de h[n] es corta y el ruido pasa casi sin cambios. Sube la intensidad de suavizado α para alargar la cola y el filtro promediará más vecinos y recortará el ruido, pero si la subes demasiado la esquina del escalón se desdibuja y sube tarde.
La respuesta al impulso es todo el sistema
Un sistema LTI discreto es lineal (si sumas entradas, las salidas también se suman) e invariante en el tiempo (si retrasas la entrada, la salida se retrasa lo mismo). Un sistema así queda totalmente determinado por su respuesta al impulso h[n], la salida que se obtiene al aplicar un impulso δ[n] (1 en n = 0, 0 en el resto). Esta sola respuesta basta porque cualquier entrada x[n] se puede descomponer en una suma de impulsos, Σ x[k]·δ[n−k]. Como el sistema es lineal e invariante en el tiempo, la salida para cada impulso x[k]δ[n−k] es x[k]·h[n−k], y al sumarlas todas se obtiene la salida total.
La salida es una suma ponderada deslizante
Esa suma, y[n] = Σₖ h[k]·x[n−k], es la convolución discreta. Para cada instante de salida n, se invierte en el tiempo la respuesta al impulso h, se coloca sobre la entrada en la posición n, se multiplican las muestras que coinciden y se suman todas; luego se avanza un paso para obtener la siguiente salida. Frente a la convolución continua del capítulo B, solo cambió la integral ∫ por la suma Σ y las curvas por muestras; el principio es idéntico. Una h[n] corta mezcla solo unos pocos puntos cercanos; una larga llega más lejos en el pasado. Una h con forma de promedio uniforme se vuelve un filtro pasa bajos que recorta el ruido, y una h con forma de diferencia entre muestras vecinas se vuelve un filtro pasa altos que amplifica los cambios.
FIR e IIR, y la ecuación en diferencias
Si la respuesta al impulso termina tras una longitud finita, el filtro es FIR (respuesta finita al impulso). La media móvil de longitud M, h[n] = 1/M (n = 0, …, M−1), es el ejemplo clásico; como solo hace una suma ponderada de muestras de entrada, siempre es estable. En cambio, si el filtro es una recursión que realimenta salidas pasadas, su respuesta al impulso continúa sin fin y el filtro es IIR (respuesta infinita al impulso). El filtro de la primera pantalla, y[n] = α·y[n−1] + (1 − α)·x[n], es un ejemplo: su respuesta al impulso h[n] = (1 − α)αⁿ arrastra una cola para siempre. Esa recursión es la ecuación en diferencias, y al aplicarle la transformada z como en la unidad E3 se obtiene H(z) = (1 − α)/(1 − α z⁻¹), con el polo en z = α. El polo debe estar dentro del círculo unitario (|α| < 1) para que la respuesta al impulso se apague y el filtro sea estable; los IIR, que producen respuestas largas con pocos coeficientes, son eficientes, pero pueden diverger si un polo sale del círculo.
De vuelta a la primera pantalla
La única respuesta al impulso de la parte de arriba de la primera pantalla, h[n] = (1 − α)αⁿ, era todo este filtro. Al subir la intensidad de suavizado α se alargó la cola de h[n], así que la convolución discreta promedió más vecinos y se recortó el ruido de la salida; al subirla demasiado, la esquina del escalón se desdibujó. La salida siempre fue y[n] = Σₖ h[k]x[n−k], una suma ponderada de h deslizada sobre la entrada. Si conoces la respuesta a un solo impulso, al deslizarla puedes producir la salida para cualquier entrada. Todo lo que define a un sistema LTI discreto estaba contenido en esa pequeña h[n].
Ya viste el resultado de filtrar por convolución en el tiempo, pero aún no viste con números qué frecuencias conserva exactamente este filtro y cuáles elimina. La siguiente unidad, La DTFT y la DFT, despliega la respuesta al impulso sobre la frecuencia. Evaluar la transformada z H(z) de la respuesta al impulso sobre el círculo unitario, z = ejω, da la DTFT, la respuesta en frecuencia de un sistema discreto, y para una h con forma de promedio aparece una forma pasa bajos que se reduce a ω altas. Muestrear la DTFT, que no tiene fin, en un número finito de frecuencias para que una computadora pueda calcularla da la DFT, y el algoritmo que la calcula rápido es la FFT. La convolución en el tiempo vuelve a ser multiplicación en el dominio de la frecuencia.