La intuición de la convolución
Voltea, desliza y lee el solapamiento
En la figura de arriba, el pulso rectangular dorado es la entrada x(τ) y la curva azul es h(t − τ), la respuesta h volteada y deslizada hasta el instante t. El área verde de su producto es la salida y(t), y la figura de abajo es esa curva de salida. Mueve la posición de deslizamiento t y observa cuándo el área es máxima: en ese instante el punto de la curva de abajo también llega a la cima.
La salida es el área de solape
Para hallar la salida en un instante t hay que dar cuatro pasos: voltear la respuesta (h(−τ)), deslizarla hasta el instante t (h(t − τ)), multiplicarla por la entrada (x(τ)·h(t − τ)) e integrar el producto. El tramo donde el producto no es 0 es el solapamiento, y su área es y(t), así que voltear, deslizar, multiplicar e integrar es todo lo que hay en la convolución.
Por qué se voltea
En la unidad anterior, el impulso de entrada x(τ) en el instante τ dejaba x(τ)·h(t − τ) en la salida, porque su retardo era t − τ. La salida en el instante t es la suma de estas contribuciones de todos los τ, así que y(t) = ∫ x(τ) h(t − τ) dτ. Respecto de la variable de integración τ, el argumento de h es t − τ, de modo que su signo se invierte y en la figura h aparece volteada de izquierda a derecha. El volteo sale de forma natural del retardo.
Conmutatividad y convolución discreta
La convolución es conmutativa. Como x ∗ h = h ∗ x, el resultado es el mismo se voltee la entrada o la respuesta. También es asociativa, así que los sistemas conectados en serie pueden fundirse en uno. Para señales discretas la integral se convierte en una suma, y[n] = Σ x[k] h[n − k], y un filtro digital calcula justamente esta suma en cada muestra.
De vuelta a la primera pantalla
Cada vez que se movía la posición de deslizamiento cambiaba el área verde, y esa área coincidía exactamente con el valor de la curva de salida de abajo en ese instante. Cuando apenas había solapamiento la salida estaba cerca de 0, y cerca de t = 1, donde el solapamiento era máximo, la salida llegó a su cima. La convolución desliza la respuesta volteada sobre la entrada y reúne el área solapada en cada instante para construir la curva de salida. Con una sola respuesta al impulso y esta única operación se puede calcular toda salida de un sistema LTI.
Con la imagen del solapamiento en la mano, toca pasarla a números. En la próxima unidad, calcular la convolución, se integra por tramos la convolución de señales sencillas como pulsos rectangulares y se comprueba a mano de qué fórmulas salen la cima y la cola vistas en la figura. Para la figura de esta unidad, la salida sube como y = (1 − e−1,5t)/1,5 para 0 ≤ t ≤ 1 y se apaga de forma exponencial para t > 1. Las cuatro acciones de voltear, deslizar, multiplicar e integrar fijan exactamente los límites que separan los tramos.