La intuición de la convolución
Voltea, desliza y lee el solapamiento
Arriba se ve la entrada fija x(τ) y la respuesta h(t−τ) volteada y deslizada al instante t. Su área verde solapada es la salida y(t). Abajo está esa curva de salida. Mueve la posición t y halla cuándo el área es mayor.
La salida es el área de solape
Para obtener la salida en un instante t, da cuatro pasos: voltea la respuesta (h(−τ)), deslízala a t (h(t−τ)), multiplica por la entrada (x(τ)·h(t−τ)) e integra el producto. Donde el producto no es cero está el solape, y su área es y(t). Voltear, deslizar, multiplicar, integrar: eso es toda la convolución.
Por qué se voltea
En la unidad anterior, un impulso de entrada x(τ) en el instante τ dejó x(τ)·h(t−τ) en la salida, porque su retardo era t−τ. La salida en t suma estas contribuciones de cada τ, así que y(t) = ∫ x(τ) h(t−τ) dτ. En la variable de integración τ, el argumento t−τ de h lleva un menos, por eso h aparece volteada en la imagen. El volteo es la consecuencia natural del retardo.
Conmutatividad y convolución discreta
La convolución es conmutativa: x ∗ h = h ∗ x, así que voltear la entrada o la respuesta da el mismo resultado. También es asociativa, así que sistemas en serie se fusionan en uno. Para señales discretas la integral se vuelve suma, y[n] = Σ x[k] h[n−k], y un filtro digital calcula justo esta suma en cada muestra.
De vuelta a la primera pantalla
Cada vez que moviste la posición, el área verde cambiaba, y esa área igualaba exactamente el valor de la curva de salida de abajo en ese instante. Donde el solape era escaso la salida rondaba 0; donde era máximo, la salida tocaba su pico. La convolución desliza la respuesta volteada sobre la entrada, recogiendo el área de solape en cada instante para construir la curva de salida. Una respuesta al impulso y esta única operación calculan toda salida de un sistema LTI.
Ahora que tienes la imagen del solape, toca convertirla en números. La próxima unidad, calcular la convolución, integra por tramos la convolución de señales simples como un pulso rectangular, para que confirmes a mano cómo surgen como fórmulas el pico y la cola que viste. Los cuatro movimientos —voltear, deslizar, multiplicar, integrar— fijan los puntos que dividen los intervalos.