Respuestas de primer y segundo orden

Ajusta el amortiguamiento para el asentamiento más rápido

Arriba está el plano s, con × marcando los polos de un sistema de segundo orden. Subamortiguado, los polos son un par complejo fuera del eje real y la respuesta sobrepasa en el camino; sobreamortiguado, dos polos quedan muy separados sobre el eje real y avanza lento. Abajo está su respuesta al escalón. Mueve el factor de amortiguamiento ζ hacia 1 para hallar el amortiguamiento crítico, donde los dos polos se encuentran en el eje real, el alcance más rápido al objetivo sin sobrepaso. ωn sube la velocidad general.

Primer orden: una sola constante de tiempo

Un sistema de primer orden H(s)=1/(τs+1) tiene un solo polo en el eje real en s=−1/τ. Su respuesta al escalón es 1−e^(−t/τ), una exponencial que sube con suavidad hacia el objetivo sin oscilar. La constante de tiempo τ es el tiempo para alcanzar cerca del 63% del valor final, y hacia unos 4τ ya se ha asentado. Cuanto más cerca del origen el polo (mayor τ), más lento; cuanto más lejos, más rápido. Una posición de polo fija la velocidad.

Segundo orden: un transitorio fijado por dos polos

El sistema de segundo orden estándar H(s)=ωn²/(s²+2ζωn s+ωn²) tiene polos que son las dos raíces de la ecuación característica s²+2ζωn s+ωn²=0. Resolviendo, s=−ζωn±ωn√(ζ²−1). Cuando el factor ζ es menor que 1, el término bajo la raíz es negativo, así que los polos forman un par complejo −ζωn±jωd, donde ωd=ωn√(1−ζ²) es la frecuencia a la que realmente oscila. La parte real del polo −ζωn fija cuán rápido decae la amplitud; la imaginaria ωd, cuán rápido oscila. La frecuencia natural ωn es la distancia del origen al polo, una medida de velocidad general, mientras ζ es el ángulo del polo respecto al eje real, que fija la forma.

Comportamiento sobre-, crítica- y subamortiguado

Un solo factor ζ decide el tipo de comportamiento. ζ>1, sobreamortiguado, tiene dos raíces reales y es lento sin sobrepaso; ζ=1, crítico, es raíz doble y el más rápido sin sobrepaso; ζ<1, subamortiguado, tiene polos complejos y sobrepasa antes de asentarse. En ζ=0 los polos quedan en el eje imaginario y oscila por siempre. El tamaño del sobrepaso subamortiguado lo fija solo ζ y crece cuanto menor es ζ. El tiempo de asentamiento es cerca de 4/(ζωn), así que cuanto mayor la parte real del polo, más rápido se asienta. Por eso un diseño ajusta el sobrepaso con ζ y la velocidad con ωn, por separado.

De vuelta a la primera pantalla

Con el factor ζ pequeño, los polos eran un par complejo muy inclinado fuera del eje real, así que la respuesta sobrepasó con fuerza y osciló largo rato; subir ζ a 1 juntó los dos polos en el eje real para el asentamiento más rápido sin sobrepaso. Subir más ζ, sobreamortiguado, separó los polos y lo volvió lento. Subir ωn alejó los polos del origen y aceleró la misma forma por completo. El ángulo de los polos respecto al eje real fijó el sobrepaso; la distancia al origen fijó la velocidad. La forma y la velocidad de la respuesta estaban escritas en la posición de los polos del plano s.

Con esto se completa la historia de las señales y sistemas en tiempo continuo. La transformada de Laplace convirtió ecuaciones diferenciales en álgebra en s, y las posiciones de los polos nos dijeron la respuesta. Pero las computadoras y los dispositivos digitales no manejan señales de forma continua; toman un valor a intervalos regulares. La primera unidad del próximo capítulo, el teorema de muestreo, pregunta cuándo una señal continua muestreada en instantes discretos puede reconstruirse exactamente. El criterio de Nyquist, que hay que muestrear a más del doble de la frecuencia más alta de la señal, aparece junto con el aliasing que surge al muestrear demasiado lento.