Respuestas de primer y segundo orden

Ajusta el amortiguamiento para el asentamiento más rápido

La gráfica de arriba es el plano s: las × doradas son los dos polos de un sistema de segundo orden, y el semicírculo punteado marca los puntos a distancia ωn del origen. Cuando el sistema es subamortiguado, los dos polos salen del eje real como un par complejo sobre ese semicírculo y la respuesta oscila mientras sigue al objetivo; cuando es sobreamortiguado, los dos polos se separan mucho sobre el eje real y la respuesta se vuelve lenta. La gráfica de abajo es la respuesta al escalón unitario, con la línea punteada en el objetivo 1. Empiezas con ζ = 0,3 y ωn = 1,4, así que la respuesta sobrepasa el objetivo en un 37% aproximadamente. Lleva ζ hacia 1 para encontrar el amortiguamiento crítico, donde los dos polos se encuentran sobre el eje real, y obtendrás la respuesta que llega al objetivo lo más rápido posible sin sobrepasarlo; si subes ωn, la misma forma se acelera por completo.

Primer orden: una sola constante de tiempo

Un sistema de primer orden H(s) = 1/(τs + 1), con un solo polo en el eje real, tiene ese polo en s = −1/τ. Su respuesta al escalón 1 − e^(−t/τ) es una curva exponencial que sube con suavidad hacia el objetivo sin oscilar. La constante de tiempo τ es el tiempo que tarda la respuesta en llegar a cerca del 63% de su valor final, y después de 4τ supera un poco el 98%, así que en la práctica ya se ha asentado. Cuanto más cerca del origen está el polo (cuanto mayor es τ), más lenta es la respuesta, y cuanto más lejos, más rápida, así que una sola posición de polo decide la rapidez.

Segundo orden: una respuesta transitoria fijada por dos polos

Los polos del sistema estándar de segundo orden H(s) = ωn²/(s² + 2ζωn s + ωn²) son las dos raíces de la ecuación característica s² + 2ζωn s + ωn² = 0, que resultan s = −ζωn ± ωn√(ζ² − 1). Cuando la razón de amortiguamiento ζ es menor que 1, lo que hay bajo la raíz es negativo, así que los polos forman un par complejo −ζωn ± jωd, donde ωd = ωn√(1 − ζ²) es la frecuencia angular a la que la respuesta oscila de verdad. La parte real del polo, −ζωn, fija la rapidez con que se apaga la amplitud, y la parte imaginaria, ωd, la rapidez de la oscilación. La frecuencia natural ωn es la distancia del origen al polo y mide la rapidez global, mientras que ζ es el coseno del ángulo θ que forma el polo con el eje real negativo (ζ = cos θ) y decide la forma de la respuesta. Por eso los polos subamortiguados siempre quedan sobre el semicírculo punteado de radio ωn de la gráfica de arriba.

Comportamiento sobre-, crítica- y subamortiguado

La razón de amortiguamiento ζ por sí sola clasifica el comportamiento. El sobreamortiguado, ζ > 1, tiene dos raíces reales y avanza despacio sin sobreimpulso; el críticamente amortiguado, ζ = 1, tiene una raíz doble y es el más rápido sin sobreimpulso; el subamortiguado, ζ < 1, tiene polos complejos y sobrepasa el objetivo antes de apagarse. Con ζ = 0 los polos quedan sobre el eje imaginario y la respuesta oscila sin fin. El tamaño del sobreimpulso subamortiguado depende solo de ζ: cerca del 5% con ζ = 0,7 y cerca del 37% con ζ = 0,3. El tiempo de establecimiento al 2% es de unos 4/(ζωn), así que cuanto mayor es la parte real del polo, antes se asienta. Por eso en el diseño se ajusta el sobreimpulso con ζ y la rapidez con ωn por separado, y a menudo se elige ζ cerca de 0,7, aceptando un poco de sobreimpulso a cambio de una subida más rápida.

De vuelta a la primera pantalla

En la primera pantalla, con una razón de amortiguamiento ζ pequeña los polos eran un par complejo muy inclinado respecto al eje real, así que la respuesta sobrepasó mucho el objetivo y siguió oscilando largo rato; al subir ζ hasta 1, los dos polos se encontraron sobre el eje real y la respuesta se asentó lo más rápido posible sin sobreimpulso. Al aumentar ζ aún más, en el régimen sobreamortiguado, los polos volvieron a separarse y la respuesta se volvió lenta. Al subir ωn, los polos se alejaron del origen y la misma forma se aceleró por completo. El ángulo que forman los polos con el eje real decidía el sobreimpulso, y su distancia al origen decidía la rapidez. La forma y la rapidez de la respuesta estaban escritas tal cual en la posición de los polos en el plano s.

Aquí termina la historia de las señales y los sistemas en tiempo continuo. La transformada de Laplace convirtió las ecuaciones diferenciales en álgebra en s, y la posición de los polos permitió leer la respuesta. Sin embargo, las computadoras y los dispositivos digitales no pueden manejar una señal de forma continua: toman su valor a intervalos fijos. La primera unidad del siguiente capítulo, El teorema de muestreo, trata la condición bajo la cual una señal continua puede recuperarse aunque solo se tomen muestras a intervalos. Allí aparece el criterio de Nyquist, que dice que hay que muestrear más rápido que el doble de la frecuencia más alta de la señal, junto con el aliasing que surge cuando se muestrea demasiado despacio.