Ancho de banda y filtrado
Empareja la banda de paso con el objetivo
La línea plana tenue es el espectro de entrada, con todas las frecuencias por igual, y la forma azul es la salida tras multiplicar por el filtro, así que solo sobrevive la banda de paso. La banda dorada discontinua es el objetivo, el tramo de 2,5 a 5. Con los botones de tipo de filtro y el deslizador de corte, ajusta la banda de paso exactamente a esa banda; los filtros de esta figura son ideales, exactamente 1 dentro de la banda de paso y exactamente 0 fuera.
Filtrar es multiplicar
El teorema de convolución de C4 es la base del filtrado. Pasar una señal por un sistema es una convolución en el dominio del tiempo, pero en el dominio de la frecuencia es multiplicar punto a punto el espectro de la señal X(ω) por la respuesta del filtro H(ω). Las componentes de frecuencia de la banda de paso, donde H está cerca de 1, sobreviven intactas, y las de la banda de rechazo, donde H está cerca de 0, desaparecen. Por eso basta mirar la forma del diagrama de magnitud de un filtro para saber al instante qué frecuencias quedan y cuáles se cortan.
El ancho de banda es el ancho de la banda
El ancho de banda indica cuán ancha es la banda de paso, y suele medirse como el ancho entre los dos puntos donde la magnitud cae a −3 dB. En un pasa bajos, el ancho de banda va de 0 hasta el corte ωc. Cuanto más estrecho el ancho de banda, menos frecuencias se eligen y mayor es la selectividad, pero por la relación inversa de C3 la respuesta en el dominio del tiempo se vuelve más lenta y tarda más en asentarse. Manejar señales rápidas requiere un ancho de banda amplio, y filtrar ruido de forma estrecha requiere uno estrecho, así que los dos están en compromiso.
Los cuatro filtros
Los filtros son de cuatro tipos según dónde está su banda de paso. Un pasa bajos deja pasar las frecuencias bajas y un pasa altos las altas, un pasa banda deja pasar solo una banda del medio, y un rechaza banda bloquea solo una banda del medio. La respuesta para ajustar la banda objetivo hace un momento era el pasa banda, que deja pasar solo el medio. Los filtros de la figura son formas ideales que saltan de 1 a 0 en el borde de una vez, pero un filtro real tiene una banda de transición inclinada entre la banda de paso y la de rechazo, y cuanto mayor su orden n, más abrupta la transición, a −20n dB/dec. Solo cambian las formas: todos funcionan con el mismo principio de multiplicar el espectro para dejar solo las frecuencias deseadas.
De vuelta a la primera pantalla
Para ajustar la banda objetivo había que elegir el pasa banda, que deja pasar solo el medio, y fijar con el corte el lugar de esa banda. Al multiplicar el espectro de entrada plano por el filtro, solo quedaron las frecuencias dentro de la banda de paso y el resto se cortó, y el ancho de la banda superviviente era el ancho de banda. Filtrar es, al final, una sola operación de multiplicar el espectro por la forma del filtro, y pasa bajos, pasa altos, pasa banda y rechaza banda solo difieren en dónde se coloca la banda de paso. La propiedad de C4 de que la convolución es multiplicación se convirtió aquí en una herramienta práctica.
Con el método de Fourier leímos cómo trata un sistema las sinusoides en estado estacionario, su comportamiento sobre el eje ω. Pero la respuesta transitoria justo después de encender un sistema, o un desborde inestable, es difícil de captar solo con sinusoides puras. La próxima unidad, la transformada de Laplace, amplía la frecuencia jω al número complejo s = σ + jω, y al añadir σ se pueden tratar también exponenciales que crecen o se apagan, de modo que la respuesta transitoria y la estabilidad se ven de un vistazo como las posiciones de polos y ceros en un solo plano. La condición de estabilidad a < 0 vista en B4 también reaparece en ese plano s.