Ancho de banda y filtrado
Empareja la banda de paso con el objetivo
La línea plana tenue es un espectro de entrada con todas las frecuencias. La forma azul es la salida tras multiplicar por el filtro: solo sobrevive la banda de paso. La banda discontinua dorada es el objetivo. Usa los botones de tipo y el deslizador de corte para llevar la banda de paso justo sobre esa banda.
Filtrar es multiplicar
El teorema de convolución de C4 es la base del filtrado. Pasar una señal por un sistema es convolución en el tiempo, pero en frecuencia es multiplicar el espectro X(ω) por la respuesta H(ω) punto a punto. Las componentes de la banda de paso, donde H es casi 1, sobreviven intactas; las de la de rechazo, donde H es casi 0, desaparecen. Así, la forma del diagrama de magnitud dice de inmediato qué frecuencias quedan y cuáles se cortan.
El ancho de banda es el ancho de la banda
El ancho de banda es cuán ancha es la banda de paso, normalmente medido entre los dos puntos donde la magnitud cae a −3 dB. En un paso bajo va de 0 al corte ωc. Un ancho menor pasa menos frecuencias y es más selectivo, pero por la reciprocidad de C3 la respuesta temporal se vuelve más lenta y el asentamiento más largo. Manejar señales rápidas exige ancho grande; extraer ruido de forma estrecha exige ancho pequeño. Son un compromiso.
Los cuatro filtros
Los filtros son de cuatro clases según dónde está la banda de paso. Un paso bajo pasa frecuencias bajas, un paso alto las altas, un paso banda solo una banda central y un rechazo bloquea solo una banda central. Para igualar la banda objetivo, la respuesta era el paso banda que deja pasar solo el centro. Los filtros reales tienen una banda de transición inclinada entre paso y rechazo, y a mayor orden más empinada, cayendo en múltiplos de −20 dB/década. Solo cambia la forma; todos funcionan igual: multiplicar el espectro para quedarse solo con las frecuencias deseadas.
De vuelta a la primera pantalla
Para igualar la banda objetivo tuviste que elegir el paso banda que deja pasar solo el centro y colocar esa banda con el corte. Multiplicar el espectro plano por el filtro dejó solo las frecuencias de la banda de paso; el resto se cortó. El ancho de la banda superviviente era el ancho de banda. Filtrar es, al final, una operación —multiplicar el espectro por la forma del filtro— y paso bajo, alto, banda y rechazo son solo dónde se sitúa esa banda. La propiedad de C4, convolución es multiplicación, se volvió aquí una herramienta práctica.
Fourier mostró cómo un sistema maneja sinusoides en estado estacionario: su comportamiento a lo largo del eje ω. Pero el transitorio justo tras encender un sistema, o una divergencia inestable, es difícil de captar solo con sinusoides puras. El próximo capítulo, la transformada de Laplace y la función de transferencia, amplía la frecuencia jω a un complejo s = σ + jω. Añadir σ permite tratar también exponenciales que crecen y decaen, así que transitorios y estabilidad se ven de un vistazo como las posiciones de polos y ceros en un plano. La condición de estabilidad a < 0 de B4 nos reencuentra en ese plano s.